Lancio di di moneta e distribuzione di pascal
Buongiorno,
ho provato a fare il seguente esercizio, anche se nel mio CdL dobbiamo ancora iniziarne su questo argomento. Pertanto mi scuso se scrivo qualche castroneria.
Sol.:
Ho un dubbio essenzialmente nell'impostazione del problema:
definisco la variabile aleatoria \( X \sim Geom(p) \) che è l'istante di successo con esito testa e la variabile \( Y \sim Geom(1-p) \) come la prima, ma riferita all'esito croce.
La probabilità richiesta è $\mathbb{P}(X<=Y)=\mathbb{P}((X,Y) in A)$, con $A={(m,n):m
Chiaramente ho che \( X \bot Y \), perciò: $p_{(X,Y)}(m,n)=p_X(m)*p_Y(n)=p(1-p)^{m-1}*(1-p)*p^{n-1}=p^{n}*(1-p)^{m}$.
Ma $\mathbb{P}((X,Y) in A)=sum_{m
Sono abbastanza certo di averlo cannato, un po' per il risultato, un po' perché l'impostazione non mi convince molto.
ho provato a fare il seguente esercizio, anche se nel mio CdL dobbiamo ancora iniziarne su questo argomento. Pertanto mi scuso se scrivo qualche castroneria.
Un moneta con probabilità di ottenere testa data da $p in (0, 1)$ viene lanciata ripetutamente. Siano $m$ e $n$ $in N$ due numeri fissati. A vince se esce testa almeno $m$ volte prima che croce esca $n$ volte; si calcoli la probabilità che A vinca.
Sol.:
Ho un dubbio essenzialmente nell'impostazione del problema:
definisco la variabile aleatoria \( X \sim Geom(p) \) che è l'istante di successo con esito testa e la variabile \( Y \sim Geom(1-p) \) come la prima, ma riferita all'esito croce.
La probabilità richiesta è $\mathbb{P}(X<=Y)=\mathbb{P}((X,Y) in A)$, con $A={(m,n):m
Chiaramente ho che \( X \bot Y \), perciò: $p_{(X,Y)}(m,n)=p_X(m)*p_Y(n)=p(1-p)^{m-1}*(1-p)*p^{n-1}=p^{n}*(1-p)^{m}$.
Ma $\mathbb{P}((X,Y) in A)=sum_{m
Sono abbastanza certo di averlo cannato, un po' per il risultato, un po' perché l'impostazione non mi convince molto.
Risposte
Prima osservazione: il titolo non va bene! Non è il lancio di due monete, ma di una ripetutamente e non è la stessa cosa...lanciandone due i risultati sono indipendenti...lanciandone una sola i risultati non sono indipendenti, perché o esce testa o esce croce....
Sto lavorando e quindi non ho molto tempo di concentrarmi....ma leggendo il testo mi sembra una semplice distribuzione di Pascal.
Questa è la probabilità di avere n fallimenti prima di avere m successi.
$P(n)=((n+m-1),(n))p^mq^n$
Quindi per risolvere il tuo problema basta fare la somma di questa cosa da $m$ a $(N-n)$...ed è la probabilità che A perda
Più tardi in pausa vedo di dargli un'occhiata...ma sicuramente risolverai in autonomia
Esempio numerico:
A vince se lanciando una moneta equilibrata ripetutamente escono ALMENO 3 TESTE prima di due croci.
$P(A_(p e r d e ))=sum_(m=3)^(oo)((2+m-1),(2))(1/2)^m(1/2)^2=1/4sum_(m=3)^(oo)((m+1),(2))(1/2)^m=$
$= 1/4sum_(m=3)^(oo)((m+1)!)/(2!(m-1)!)(1/2)^m=1/8 sum_(m=3)^(oo)(m+1)m(1/2)^m$
spezzi la sommatoria in due e risolvi come sicuramente saprai....
poi, una volta risolto l'esempio numerico, sarai sicuramente in grado di generalizzare il problema
fammi sapere se è chiaro (anche perché non ci ho ragionato molto ma è stato un abbozzo di soluzione istintivo)
ciao
Sto lavorando e quindi non ho molto tempo di concentrarmi....ma leggendo il testo mi sembra una semplice distribuzione di Pascal.
Questa è la probabilità di avere n fallimenti prima di avere m successi.
$P(n)=((n+m-1),(n))p^mq^n$
Quindi per risolvere il tuo problema basta fare la somma di questa cosa da $m$ a $(N-n)$...ed è la probabilità che A perda
Più tardi in pausa vedo di dargli un'occhiata...ma sicuramente risolverai in autonomia
Esempio numerico:
A vince se lanciando una moneta equilibrata ripetutamente escono ALMENO 3 TESTE prima di due croci.
$P(A_(p e r d e ))=sum_(m=3)^(oo)((2+m-1),(2))(1/2)^m(1/2)^2=1/4sum_(m=3)^(oo)((m+1),(2))(1/2)^m=$
$= 1/4sum_(m=3)^(oo)((m+1)!)/(2!(m-1)!)(1/2)^m=1/8 sum_(m=3)^(oo)(m+1)m(1/2)^m$
spezzi la sommatoria in due e risolvi come sicuramente saprai....
poi, una volta risolto l'esempio numerico, sarai sicuramente in grado di generalizzare il problema
fammi sapere se è chiaro (anche perché non ci ho ragionato molto ma è stato un abbozzo di soluzione istintivo)
ciao
@tommik, grazie mille per il tempo che mi hai dedicato innanzitutto 
Ti chiedo scusa per il titolo, avendo scritto il messaggio stanotte, stamattina l'ho inviato senza pensarci troppo !
Devo essere sincero, la distribuzione di Pascal non l'abbiamo mai nominata, però avrei potuto arrivarci perché in fondo ragionando con le binomiali ci si riesce a ricavarla !
Ora provo a risolverlo:
Detto $A$ l'evento $A_(v i n c e)$, per trovare $\mathbb{P}(A)=1-\mathbb{P}(B)$, dove $B$ è l'evento $A_(p e r d e)$.
A perde se ho esattamente $n$ fallimenti prima di avere almeno $m$ successi. A questo punto sfrutto la distribuzione di Pascal, e ho che, detta $X$ la variabile aleatoria che conta il numero di fallimenti:
$\mathbb{P}(X=n)=((n+m-1),(n))p^mq^n $, con $q=1-p$.
Pertanto $\mathbb{P}(A_(p e r d e))= sum_{i=m}^{\infty} ((n+i-1),(n))p^iq^n=sum_{i=m}^{\infty}(n+i-1)p^iq^n$ ma non so come gestire gli indici. Mi spiego meglio: l'indice $i$ l'ho fatto partire da $m$ e l'ho fatto scorrere fino a infinito, visto che mi si dice almeno $m$.
Però nel tuo post leggo che hai scritto devo sommare da $m$ a $N-n$, tuttavia non capisco cosa intendi con la quantità $N-n$. Il totale meno i successi?
Per il resto il modo con cui spezzare la sommatoria mi è chiaro.
Grazie mille per l'attenzione
Ti chiedo scusa per il titolo, avendo scritto il messaggio stanotte, stamattina l'ho inviato senza pensarci troppo !Devo essere sincero, la distribuzione di Pascal non l'abbiamo mai nominata, però avrei potuto arrivarci perché in fondo ragionando con le binomiali ci si riesce a ricavarla !
Ora provo a risolverlo:
Detto $A$ l'evento $A_(v i n c e)$, per trovare $\mathbb{P}(A)=1-\mathbb{P}(B)$, dove $B$ è l'evento $A_(p e r d e)$.
A perde se ho esattamente $n$ fallimenti prima di avere almeno $m$ successi. A questo punto sfrutto la distribuzione di Pascal, e ho che, detta $X$ la variabile aleatoria che conta il numero di fallimenti:
$\mathbb{P}(X=n)=((n+m-1),(n))p^mq^n $, con $q=1-p$.
Pertanto $\mathbb{P}(A_(p e r d e))= sum_{i=m}^{\infty} ((n+i-1),(n))p^iq^n=sum_{i=m}^{\infty}(n+i-1)p^iq^n$ ma non so come gestire gli indici. Mi spiego meglio: l'indice $i$ l'ho fatto partire da $m$ e l'ho fatto scorrere fino a infinito, visto che mi si dice almeno $m$.
Però nel tuo post leggo che hai scritto devo sommare da $m$ a $N-n$, tuttavia non capisco cosa intendi con la quantità $N-n$. Il totale meno i successi?
Per il resto il modo con cui spezzare la sommatoria mi è chiaro.
Grazie mille per l'attenzione
"feddy":
Però nel tuo post leggo che hai scritto devo sommare da $m$ a $N-n$, tuttavia non capisco cosa intendi con la quantità $N-n$. Il totale meno i successi?
E' giusto come hai fatto. ho scritto che va da $m$ a $N-n$ come indicazione generale. Se hai N lanci e n insuccessi...i successi possono arrivare fino ad un massimo di $N-n$. Se, come nell'esempio N non è fissato e n è piccolo non serve questa precisazione
Questa uguaglianza però non è giusta...
"feddy":
Pertanto $\mathbb= sum_{i=m}^{\infty} ((n+i-1),(n))p^iq^n=sum_{i=m}^{\infty}(n+i-1)p^iq^n$
se guardi bene viene così:
$q^n/(n!) sum_(i=m)^(oo)(n+i-1)\cdot(n+i-2)\cdot....\cdoti\cdotp^i$
....occorre quindi rimaneggiare un po' le serie di potenze....
Ok, grazie per l'attenzione. È che non so proprio come trattare quel coefficiente binomiale, guardando l'esempio numerico pensavo fosse giusto ma a sto punto mi pare di no
purtroppo sono esercizi che risolveremo col tutor e non ci sono soluzioni. Ti ringrazio moltissimo per la disponibilità, se mi viene in mente qualcosa lo scrivo qui 
È più semplice di quanto pensassi. L'avverbio "almeno" m teste non serve e mi ha mandato fuori strada: quando fai m teste finisce il gioco. Quindi è solo una CDF di una distribuzione di Pascal.
A vince quando ci vogliono al massimo $(n-1) $ croci per fare m teste e quindi vince con probabilità
$sum_(i=0)^(n-1)((i+m-1),(i))p^m q ^i $
Per $n=1$ torna la tua soluzione $p^m $ ovvero la probabilità di fare $m$ teste consecutive, com'è logico che sia.
Che la soluzione che ti ho proposto sia corretta si verifica facilmente con esempi numerici:
I casi sono questi
TTT
CTTT
TCTT
TTCT
Ovvero $1/8sum_(i=0)^(1)((i+3-1),(i))(1/2) ^i =1/8+3/16=5/16$
Oppure ancora:
TTT
CTTT
TCTT
TTCT
CCTTT
CTCTT
CTTCT
TCCTT
TCTCT
TTCCT
Ovvero $1/8sum_(i=0)^(2)((i+3-1),(i))(1/2) ^i= 1/8+3/16+6/32=1/2$
Ecc ecc
Ciao
A vince quando ci vogliono al massimo $(n-1) $ croci per fare m teste e quindi vince con probabilità
$sum_(i=0)^(n-1)((i+m-1),(i))p^m q ^i $
Per $n=1$ torna la tua soluzione $p^m $ ovvero la probabilità di fare $m$ teste consecutive, com'è logico che sia.
Che la soluzione che ti ho proposto sia corretta si verifica facilmente con esempi numerici:
Lanciando una moneta regolare A vince se fa almeno 3 teste prima di due croci.
I casi sono questi
TTT
CTTT
TCTT
TTCT
Ovvero $1/8sum_(i=0)^(1)((i+3-1),(i))(1/2) ^i =1/8+3/16=5/16$
Oppure ancora:
Lanciando una moneta regolare A vince se fa almeno 3 teste prima di 3 croci.
TTT
CTTT
TCTT
TTCT
CCTTT
CTCTT
CTTCT
TCCTT
TCTCT
TTCCT
Ovvero $1/8sum_(i=0)^(2)((i+3-1),(i))(1/2) ^i= 1/8+3/16+6/32=1/2$
Ecc ecc
Ciao
Che dire tommik, grazie mille, sono finalmente riuscito a comprendere a pieno l'esercizio, nonostante in uni dobbiamo ancora cominciarli. Grazie !
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