Lancio di 3 dadi
Ciao a tutti, sto avendo difficoltà con un esercizio di probabilità.
ES Si lanciano tre dadi: uno rosso, uno giallo e uno blu. Indicando, rispettivamente, con $B$,$G$,$R$ il numero che appare sul dado blu, giallo e rosso, ci proponiamo di calcolare $P(B
Ora potrei farmi uno schema di tutti i possibili esiti e contare, ma vorrei risolvere in maniera più formale, agiono come segue: posso vedere $P(B
$P((B
A questo punto però non riesco a calcolarmi $P(B
Grazie,
Lorenzo
ES Si lanciano tre dadi: uno rosso, uno giallo e uno blu. Indicando, rispettivamente, con $B$,$G$,$R$ il numero che appare sul dado blu, giallo e rosso, ci proponiamo di calcolare $P(B
Ora potrei farmi uno schema di tutti i possibili esiti e contare, ma vorrei risolvere in maniera più formale, agiono come segue: posso vedere $P(B
$P((B
A questo punto però non riesco a calcolarmi $P(B
Grazie,
Lorenzo
Risposte
Beh, mi sembra vada bene.
\[ P(B < G < R) = P((B < G) \cap (G < R)) = P (B < G | G < R) P(G < R ) \]
\[ P (B < G | G < R) = P(B < G | G < 2 ) P(R = 2) + P(B < G | G < 3 ) P(R = 3) + P(B < G | G < 4 ) P(R = 4) + P(B < G | G < 5 ) P(R = 5) + P(B < G | G < 6 ) P(R = 6) \]
\[ = \frac{1}{6} \cdot [ P(B < G | G < 2 ) + P(B < G | G < 3 ) + P(B < G | G < 4 ) + P(B < G | G < 5 ) + P(B < G | G < 6 ) ] \]
\[ = \frac{1}{6} \cdot [ P(B < G | G = 1 ) + ( P(B < G | G = 1 ) P(G = 1) + P(B < G | G=2) P(G=2) ) + ( P(B < G | G = 1 ) P(G = 1) + P(B < G | G=2) P(G=2) + P(B < G | G = 3 ) P(G = 3) ) + ( P(B < G | G = 1 ) P(G = 1) + P(B < G | G=2) P(G=2) + P(B < G | G = 3 ) P(G = 3)+ P(B < G | G = 4 ) P(G = 4) ) + ( P(B < G | G = 1 ) P(G = 1) + P(B < G | G=2) P(G=2) + P(B < G | G = 3 ) P(G = 3)+ P(B < G | G = 4 ) P(G = 4) + P(B < G | G = 5 ) ) ] \]
\[ = \frac{1}{6} \cdot [ P(B < 1) + \frac{1}{6} \cdot \sum_{i = 1}^2 P(B < i ) + \frac{1}{6} \cdot \sum_{i = 1}^3 P(B < i ) + \frac{1}{6} \cdot \sum_{i = 1}^4 P(B < i ) + \frac{1}{6} \cdot \sum_{i = 1}^5 P(B < i ) ] \]
\[ P(B < G < R) = P((B < G) \cap (G < R)) = P (B < G | G < R) P(G < R ) \]
\[ P (B < G | G < R) = P(B < G | G < 2 ) P(R = 2) + P(B < G | G < 3 ) P(R = 3) + P(B < G | G < 4 ) P(R = 4) + P(B < G | G < 5 ) P(R = 5) + P(B < G | G < 6 ) P(R = 6) \]
\[ = \frac{1}{6} \cdot [ P(B < G | G < 2 ) + P(B < G | G < 3 ) + P(B < G | G < 4 ) + P(B < G | G < 5 ) + P(B < G | G < 6 ) ] \]
\[ = \frac{1}{6} \cdot [ P(B < G | G = 1 ) + ( P(B < G | G = 1 ) P(G = 1) + P(B < G | G=2) P(G=2) ) + ( P(B < G | G = 1 ) P(G = 1) + P(B < G | G=2) P(G=2) + P(B < G | G = 3 ) P(G = 3) ) + ( P(B < G | G = 1 ) P(G = 1) + P(B < G | G=2) P(G=2) + P(B < G | G = 3 ) P(G = 3)+ P(B < G | G = 4 ) P(G = 4) ) + ( P(B < G | G = 1 ) P(G = 1) + P(B < G | G=2) P(G=2) + P(B < G | G = 3 ) P(G = 3)+ P(B < G | G = 4 ) P(G = 4) + P(B < G | G = 5 ) ) ] \]
\[ = \frac{1}{6} \cdot [ P(B < 1) + \frac{1}{6} \cdot \sum_{i = 1}^2 P(B < i ) + \frac{1}{6} \cdot \sum_{i = 1}^3 P(B < i ) + \frac{1}{6} \cdot \sum_{i = 1}^4 P(B < i ) + \frac{1}{6} \cdot \sum_{i = 1}^5 P(B < i ) ] \]
Perfetto, ti ringrazio!
Figurati. Ti torna, vero?
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