La media geometrica
Salve a tutti.
Com'è noto, la media di potenza $p$ dei valori $x_1,x_2,...,x_n$ vale
$M_p(x_1,x_2,...,x_n)=(\frac{1}{n}*\sum_{k=1}^n x_k^p)^(\frac{1}{p})$
Da questa media generale è possibile ricavare quelle che più spesso incontriamo: per $p=1$ si ottiene la media aritmetica, per $p=2$ quella quadratica, per $p=-1$ quella armonica.
La mia domanda è: come si dimostra che per $p \to \0$ la media che si ottiene è quella geometrica? Come può una somma di potenze diventare un prodotto di potenze?
Com'è noto, la media di potenza $p$ dei valori $x_1,x_2,...,x_n$ vale
$M_p(x_1,x_2,...,x_n)=(\frac{1}{n}*\sum_{k=1}^n x_k^p)^(\frac{1}{p})$
Da questa media generale è possibile ricavare quelle che più spesso incontriamo: per $p=1$ si ottiene la media aritmetica, per $p=2$ quella quadratica, per $p=-1$ quella armonica.
La mia domanda è: come si dimostra che per $p \to \0$ la media che si ottiene è quella geometrica? Come può una somma di potenze diventare un prodotto di potenze?
Risposte
Non sono tanto d'accordo su questa cosa, la media geometrica la si ottiene facendo tendere $p->0$, per $p->+\infty$ si ottiene piuttosto il massimo degli ${x_i}_(1<=i<=n)$.
P.S. Nella sommatoria hai usato due indici diversi.
P.S. Nella sommatoria hai usato due indici diversi.
@otta96
Ho scritto così di fretta che ho fatto una cosa per un altra, $p->0$ sì.
Provvedo a modificare il tutto.
Puoi comunque mostrarmi o linkarmi la dimostrazione?
Grazie
Ho scritto così di fretta che ho fatto una cosa per un altra, $p->0$ sì.
Provvedo a modificare il tutto.
Puoi comunque mostrarmi o linkarmi la dimostrazione?
Grazie
Ho provato operando così
$lim_(p->0)(M_p(x_1,x_2,...,x_n))= lim_(p->0) \frac{1}{n}*\sum_{k=1}^n x_k^p)^(\frac{1}{p}$
Ora la sommatoria vale $n$ e avrò la forma di indecisione $[1^\infty]$ per cui continuerei con il logaritmo
$lim_(p->0)e^\frac{ln(\frac{x_1^p+x_2^p+...+x_n^p}{n})}{p}$
Ora risolverei il limite all'esponente, che è nella forma $[\frac{0}{0}]$, con de l'Hôpital...
Procedo?
$lim_(p->0)(M_p(x_1,x_2,...,x_n))= lim_(p->0) \frac{1}{n}*\sum_{k=1}^n x_k^p)^(\frac{1}{p}$
Ora la sommatoria vale $n$ e avrò la forma di indecisione $[1^\infty]$ per cui continuerei con il logaritmo
$lim_(p->0)e^\frac{ln(\frac{x_1^p+x_2^p+...+x_n^p}{n})}{p}$
Ora risolverei il limite all'esponente, che è nella forma $[\frac{0}{0}]$, con de l'Hôpital...
Procedo?
Quindi
$lim_(p->0) p*\frac{x_1^(p-1)+x_2^(p-1)+...+x_n^(p-1)}{x_1^p+x_2^p+...+x_n^p}=0*\frac{x_1^(-1)+x_2^(-1)+...+x_n^(-1)}{n}$
Ora quella $p$ non mi annulla tutto??
$lim_(p->0) p*\frac{x_1^(p-1)+x_2^(p-1)+...+x_n^(p-1)}{x_1^p+x_2^p+...+x_n^p}=0*\frac{x_1^(-1)+x_2^(-1)+...+x_n^(-1)}{n}$
Ora quella $p$ non mi annulla tutto??
Hai sbagliato a fare la derivata....
dunque, dopo aver applicato de l'Hopital all'esponente troviamo
$(sum_i x_i^p( log(x_i))/n)/(sum_i x_i^p/n)$
che, per $p rarr0$ tende a
$sum_i ( log(x_i))/n =1/n sum_i log(x_i)=1/nlog Pi_ix_i=log root(n)(Pi_ix_i)$
quindi in definitiva ti rimane
$m=e^(log root(n)(Pi_ix_i))=root(n)(Pi_ix_i)$
tutto qui.
$d/(dx)a^x=a^x loga$
dunque, dopo aver applicato de l'Hopital all'esponente troviamo
$(sum_i x_i^p( log(x_i))/n)/(sum_i x_i^p/n)$
che, per $p rarr0$ tende a
$sum_i ( log(x_i))/n =1/n sum_i log(x_i)=1/nlog Pi_ix_i=log root(n)(Pi_ix_i)$
quindi in definitiva ti rimane
$m=e^(log root(n)(Pi_ix_i))=root(n)(Pi_ix_i)$
tutto qui.
Invece di derivare l'esponenziale ho derivato la potenza... comunque chiarissimo.
Grazie mille per il tempo dedicato.
Buone cose
Grazie mille per il tempo dedicato.
Buone cose
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