\(k<E[X]\Rightarrow P(X\geq k)>P(X\leq k)\)

[DavideGenova1]

Ciao, amici! Trovo scritto nel mio testo di statistica che, in presenza della variabile aleatoria binomiale $X$, "siccome \(E[X]=20\) si deduce che \(P(\geq 16)>P(X\leq 16)\)".
L'implicazione \(kP(X\leq k)\) vale ovviamente -come si vede con un pizzichino di calcolo integrale: si pensi anche all'interpretazione geometrica dell'integrale- per un'approssimazione gaussiana della distribuzione bernoulliana, così come in generale per ogni distribuzione in cui media e mediana coincidano, e qui, con \(X\sim\text{bin}(n,p),n=500\), può essere lecito, in varie applicazioni, usare l'approssimazione normale.
Tuttavia crederei che \(kP(X\leq k)\) possa valere in generale per ogni distribuzione binomiale, o no?
Se sì, qualcuno sarebbe così buono da tirarmi un salvagente nel mio finora -è da ieri che riscrivo sommatorie in forme diverse, ma niente...- infruttuoso tentativo di dimostrarlo?
$\infty$ grazie a tutti!!!

EDIT: Modificato grazie all'appunto di elgiovo.

[elgiovo]

La tua domanda non è chiara. Che valori assume $\mu$? E' il valor medio della binomiale, $n\cdot p$?

[DavideGenova1]

Intendevo che $\mu$ fosse il valore atteso $E[X]$, quindi, sì, $np$ se $X$ è binomiale. Ignorantemente credevo che la notazione consueta per la gaussiana fosse usuale anche per distribuzioni diverse...
Grazie per l'osservazione!!!

[elgiovo]

Non mi viene in mente niente di "immediato" e ora non ho tempo di pensarci, comunque ti semplifico un pò la notazione e ti dò degli spunti: vuoi dimostrare che se $k
\(\displaystyle P(X\leq k)
Il LHS è la cumulativa di $X$, per la quale ci sono dei bound validi, guarda caso, per $k \leq n\cdot p$ (guardati la pagina di wikipedia).

Il RHS è ovviamente $1 - P(X\leq k)$, quindi il problema, più semplicemente, è mostrare che

\(\displaystyle P(X\leq k) < \frac{1}{2} \)

[DavideGenova1]

Grazie di cuore, elgiovo, per tutti gli hints!!!
È una questione che trovo affascinante e scopro che non è neppure una cosa banale, allora...

Direi che \(X\sim\text{bin}(n,p),p\in(0,1)\), utilizzando il fatto che $P(X=k+1)=(p(n-k))/((1-p)(k+1)) P(X=k)$, abbia due possibili tipi di andamento:
-\((n+1)p\notin\mathbb{N}\Rightarrow\) la funzione \(P(X=k)\) è crescente in senso stretto fino a raggiungere il massimo quando $k$ è il più grande intero minore di \((n+1)p\), ovvero per \(k^*=\max\{k\in\mathbb{N}:k<(n+1)p\}\), per poi diventare decrescente in senso stretto;
-\((n+1)p\in\mathbb{N}\Rightarrow\) la funzione \(P(X=k)\) è crescente in senso stretto per \(k=0,1,...,((n+1)p-1)\), poi \(P(X=(n+1)p-1)=P(X=(n+1)p)\) e infine per \(k=(n+1)p,...,n\) è decrescente in senso stretto.
Spero di essere corretto se queste conclusioni sono errate.
Non sono però affatto speranzoso di poter utilizzare queste informazioni per dimostrare $k

Grazie ancora a te e a chiunque intervenga!!!