Ipotesi di rumore bianco nel filtro di Kalman
Consideriamo le formule in Fig. 1 di questo articolo: https://arxiv.org/abs/1712.01406.
Queste due formule vengono ottenute senza ipotesi sul rumore di processo. Successivamente, ancora senza fare ipotesi sul rumore di processo, l'autore arriva alla formula (5), in cui compare la densità di probabilità $p(x_k|x_{k−1})$. Tenendo in conto la prima equazione del sistema (1), lui afferma che se supponiamo rumore di processo gaussiano e bianco, allora possiamo scrivere la forma di tale densità di probabilità come una gaussiana $\mathcal{N}(f(x_{k−1}),Q)$ di media $f(x_{k−1})$ e matrice di covarianza $Q$.
La stessa identica analisi si può ripetere anche se si suppone di avere un rumore di processo, le cui variabili aleatorie $w_k$ hanno in generale matrice di covarianza diversa per ogni $k$ (quindi niente più ipotesi di rumore bianco), ottenendo banalmente $p(x_k|x_{k−1}) = \mathcal{N}(f(x_{k−1}),Q_{k-1})$ (compare la dipendenza da $k$ nelle matrici di covarianze).
Fatta questa premessa, espongo il mio dubbio: in base a quanto appena detto, posso ricavare la teoria del filtro di Kalman anche quando il rumore di processo è gaussiano ma non bianco, usando $Q_{k-1}$ anziché $Q$ nelle iterazioni del filtro, come scritto sopra. Per quale motivo allora in letteratura si trova sempre che, in caso di rumore di processo non bianco, c'è bisogno di scrivere tale rumore come l'uscita di un filtro il cui input è (di nuovo imposto come) bianco, il quale lo correla in modo tale da far tornare il rumore non bianco iniziale. La necessità di questa procedura sembra che provenga dall'assunto che il filtro di Kalman possa girare solo con rumore bianco (come a dire che le formule classiche della ricorsione del filtro smettano di valere in caso contrario). Se è così, perché?
Che errore logico c'è nello scrivere $p(x_k|x_{k−1}) = \mathcal{N}(f(x_{k−1}),Q_{k-1})$ quando il rumore è gaussiano ma non bianco?
Queste due formule vengono ottenute senza ipotesi sul rumore di processo. Successivamente, ancora senza fare ipotesi sul rumore di processo, l'autore arriva alla formula (5), in cui compare la densità di probabilità $p(x_k|x_{k−1})$. Tenendo in conto la prima equazione del sistema (1), lui afferma che se supponiamo rumore di processo gaussiano e bianco, allora possiamo scrivere la forma di tale densità di probabilità come una gaussiana $\mathcal{N}(f(x_{k−1}),Q)$ di media $f(x_{k−1})$ e matrice di covarianza $Q$.
La stessa identica analisi si può ripetere anche se si suppone di avere un rumore di processo, le cui variabili aleatorie $w_k$ hanno in generale matrice di covarianza diversa per ogni $k$ (quindi niente più ipotesi di rumore bianco), ottenendo banalmente $p(x_k|x_{k−1}) = \mathcal{N}(f(x_{k−1}),Q_{k-1})$ (compare la dipendenza da $k$ nelle matrici di covarianze).
Fatta questa premessa, espongo il mio dubbio: in base a quanto appena detto, posso ricavare la teoria del filtro di Kalman anche quando il rumore di processo è gaussiano ma non bianco, usando $Q_{k-1}$ anziché $Q$ nelle iterazioni del filtro, come scritto sopra. Per quale motivo allora in letteratura si trova sempre che, in caso di rumore di processo non bianco, c'è bisogno di scrivere tale rumore come l'uscita di un filtro il cui input è (di nuovo imposto come) bianco, il quale lo correla in modo tale da far tornare il rumore non bianco iniziale. La necessità di questa procedura sembra che provenga dall'assunto che il filtro di Kalman possa girare solo con rumore bianco (come a dire che le formule classiche della ricorsione del filtro smettano di valere in caso contrario). Se è così, perché?
Che errore logico c'è nello scrivere $p(x_k|x_{k−1}) = \mathcal{N}(f(x_{k−1}),Q_{k-1})$ quando il rumore è gaussiano ma non bianco?
Risposte
La stessa cosa viene anche enfatizzata in modo molto esplicito in questo articolo:
https://www.researchgate.net/publicatio ... ion_filter
nelle poche righe del paragrafo "The conditional density of the state as the information state".
Io continuo a non capire dove nello specifico questa ipotesi si faccia viva, se qualcuno invece lo vede, sarei più che felice se me lo spiegasse.
https://www.researchgate.net/publicatio ... ion_filter
nelle poche righe del paragrafo "The conditional density of the state as the information state".
Io continuo a non capire dove nello specifico questa ipotesi si faccia viva, se qualcuno invece lo vede, sarei più che felice se me lo spiegasse.
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