Introduzione alle trasformazioni vettoriali
Si abbiano due distribuzioni uniformi su $[0;1]$ indipendenti $X,Y$
calcolare la densità di $Z=|X-Y|$
Per tutto ciò che abbiamo detto finora e che dovresti aver letto nei topic che hai visto, dato che la funzione di densità congiunta è uniforme, nonè necessario calcolare l'integrale doppio ma basta l'area di integrazione, dato che appunto la funzione è $=1$.
Tanto la difficoltà del problema sarebbe sempre la stessa; se dovessi calcolare l'integrale doppio metteresti l'area di integrazione come "estremi di integrazione"...in questo caso ti basta calcolarla....sapresti definirla quest'area?
In altri termini, sapresti disegnare il grafico dell'evento a cui corrisponde
$P{|X-Y|
ovviamente stiamo parlando di un'area inclusa nel quadrato $[0;1]^2$, dato che $X,Y$ sono uniformi su $[0;1]$re?
calcolare la densità di $Z=|X-Y|$
Per tutto ciò che abbiamo detto finora e che dovresti aver letto nei topic che hai visto, dato che la funzione di densità congiunta è uniforme, nonè necessario calcolare l'integrale doppio ma basta l'area di integrazione, dato che appunto la funzione è $=1$.
Tanto la difficoltà del problema sarebbe sempre la stessa; se dovessi calcolare l'integrale doppio metteresti l'area di integrazione come "estremi di integrazione"...in questo caso ti basta calcolarla....sapresti definirla quest'area?
In altri termini, sapresti disegnare il grafico dell'evento a cui corrisponde
$P{|X-Y|
ovviamente stiamo parlando di un'area inclusa nel quadrato $[0;1]^2$, dato che $X,Y$ sono uniformi su $[0;1]$re?
Risposte
Tra qualche ora provo,grazie .
va beh iniziamo....così cominci a leggertelo e fai un po' di pratica con questi ragionamenti...
intanto osserviamo facilmente che, se $0<=x,y<=1$ allora anche $z=|x-y|$ è compreso fra zero e uno.
per calcolare l'area $|x-y|
$x-z
dove l'area da calcolare è quella puntinata
per rispondere alla tua domanda fatta nell'altro topic....z è fisso? no, z per l'appunto varia fra zero e uno...se $z->0$ le due rette si avvicineranno sempre di più alla bisettrice, l'area puntinata tenderà a zero e quello sarà il valore che assume $F_(Z)$.
Se invece $z->1$ allora le due rette si allontaneranno dalla bisettrice fino a rendere nulla l'area dei due triangolini situati in basso a destra e in alto a sinistra del grafico....a questo punto l'area (ovvero la nostra funzione di ripartizione di $z$) tenderà a uno, come l'area del quadrato.
Per calcolare la FdR basta qundi calcolare l'area (variabile fra zero e uno) dell'esagono in figura, che si calcola agevolemnte facendo l'area del quadrato meno l'area dei due triangoli non puntinati....per calcolare l'area dei due triangolini basta calcolare i punti di intersezione delle rette con gli assi, e per fare questo è sufficiente sostituire i valori di $x=0$ (per l'ordinata) e $y=0$ (per trovare l'ascissa) nelle equazioni delle rette....
$F_(Z)=1-(1-z)^2$
da cui la densità
$f_(Z)=2(1-z)$
ovviamente con $0<=z<=1$
a questo punto possiamo controllare le proprietà della FdR per vedere se non abbiamo fatto errori:
1) $F(-oo)=F(0)=0$ ->ok
2)$F(+oo)=F(1)=1$ ->ok
3)$F$ non decrescente -> ok, essendo $d/(dz)F=f=2(1-z)>=0 AA z in [0;1]$
intanto osserviamo facilmente che, se $0<=x,y<=1$ allora anche $z=|x-y|$ è compreso fra zero e uno.
per calcolare l'area $|x-y|
$x-z
dove l'area da calcolare è quella puntinata
per rispondere alla tua domanda fatta nell'altro topic....z è fisso? no, z per l'appunto varia fra zero e uno...se $z->0$ le due rette si avvicineranno sempre di più alla bisettrice, l'area puntinata tenderà a zero e quello sarà il valore che assume $F_(Z)$.
Se invece $z->1$ allora le due rette si allontaneranno dalla bisettrice fino a rendere nulla l'area dei due triangolini situati in basso a destra e in alto a sinistra del grafico....a questo punto l'area (ovvero la nostra funzione di ripartizione di $z$) tenderà a uno, come l'area del quadrato.
Per calcolare la FdR basta qundi calcolare l'area (variabile fra zero e uno) dell'esagono in figura, che si calcola agevolemnte facendo l'area del quadrato meno l'area dei due triangoli non puntinati....per calcolare l'area dei due triangolini basta calcolare i punti di intersezione delle rette con gli assi, e per fare questo è sufficiente sostituire i valori di $x=0$ (per l'ordinata) e $y=0$ (per trovare l'ascissa) nelle equazioni delle rette....
$F_(Z)=1-(1-z)^2$
da cui la densità
$f_(Z)=2(1-z)$
ovviamente con $0<=z<=1$
a questo punto possiamo controllare le proprietà della FdR per vedere se non abbiamo fatto errori:
1) $F(-oo)=F(0)=0$ ->ok
2)$F(+oo)=F(1)=1$ ->ok
3)$F$ non decrescente -> ok, essendo $d/(dz)F=f=2(1-z)>=0 AA z in [0;1]$
Fino al grafico avevo ragionato bene, poi anzichè procedere come hai fatto tu ho subito tentato di impostare l'integrale doppio (si,mi piace complicarmi la vita).
In particolar modo visto che ho una situazione del tipo :
$ Fz(z)=P(Z
E a questo punto avrei la differenza di due integrali doppi, fin qui ho scritto boiate o posso provare a impostare la cosa?
P.s: mentre con il tuo metodo capisco come si calcola la lunghezza del lato del triangolino che giace sull'asse cartesiano, ma non come si calcola l'altro lato
In particolar modo visto che ho una situazione del tipo :
$ Fz(z)=P(Z
E a questo punto avrei la differenza di due integrali doppi, fin qui ho scritto boiate o posso provare a impostare la cosa?
P.s: mentre con il tuo metodo capisco come si calcola la lunghezza del lato del triangolino che giace sull'asse cartesiano, ma non come si calcola l'altro lato
Sto tentando di prendere una Laurea Magistrale in Finanza , il problema vero è che durante la triennale non ci hanno dato assolutamente le basi per affrontare matematica/statistica di un certo livello,anzi.. Praticamente ho messo nel dimenticatoio tutti gli anni di esercizi fatti al liceo!
Ultima cosa che sono cotto,domani mi riguardo tutto a mente lucida, ma un problema come quello dell'esercizio posso risolverlo anche mediante doppia integrazione sulla f(x,y) giusto? Io credevo di far quello nel procedimento che ho scritto sopra, mi son reso conto solo dopo il tuo commento che in realtà mi ritrovavo a lavorare con la funz di ripartizione della Y che non ho
P.s: Nell'immagine ci sono due esercizi capitati proprio ad un esame.
Ultima cosa che sono cotto,domani mi riguardo tutto a mente lucida, ma un problema come quello dell'esercizio posso risolverlo anche mediante doppia integrazione sulla f(x,y) giusto? Io credevo di far quello nel procedimento che ho scritto sopra, mi son reso conto solo dopo il tuo commento che in realtà mi ritrovavo a lavorare con la funz di ripartizione della Y che non ho
P.s: Nell'immagine ci sono due esercizi capitati proprio ad un esame.
Per l'area calcolata geometricamente:
Prendo il triangolino in alto a destra, il primo lato si calcola banalmente vedendo asse y: (1-z) , a questo punto devo calcolare l'altro lato, cerco il punto di intersezione mettendo a sistema l'equazione della retta y=x+z con equazione della retta y=1 trovando x=1-z.
A questo punto faccio (base*altezza)/2 e ho la mia area = $ (1-z)^2/2 $ , procendo in modo analogo per l'altro triangolino, unica differenza è che interseco retta y=x-z con retta x=1, anche in questo caso ottengo un'area di $ (1-z)^2/2 $ .
L'area del quadrato è lato per lato, ovvero 1.
1 - $ (1-z)^2/2 $ - $ (1-z)^2/2 $
E mi viene diversa dalla tua soluzione.. Quindi.. Che ho sbagliato?
Prendo il triangolino in alto a destra, il primo lato si calcola banalmente vedendo asse y: (1-z) , a questo punto devo calcolare l'altro lato, cerco il punto di intersezione mettendo a sistema l'equazione della retta y=x+z con equazione della retta y=1 trovando x=1-z.
A questo punto faccio (base*altezza)/2 e ho la mia area = $ (1-z)^2/2 $ , procendo in modo analogo per l'altro triangolino, unica differenza è che interseco retta y=x-z con retta x=1, anche in questo caso ottengo un'area di $ (1-z)^2/2 $ .
L'area del quadrato è lato per lato, ovvero 1.
1 - $ (1-z)^2/2 $ - $ (1-z)^2/2 $
E mi viene diversa dalla tua soluzione.. Quindi.. Che ho sbagliato?
assolutamente sì! anzi ti invito a provare con mano per vedere che il risultato è lo stesso![/quote]
Questo invece non so davvero dove metter mani, son 40 minuti che guardo il grafico e non capisco, ho provato a fare diverse prove, ma se per altri esercizi gli estremi di integrazione riesco più o meno a trovarli qua proprio nada de nada!
Dall'alto della mia ignoranza mi sembra ad esempio che la y vada da 0 a x+z solo quando la x va da 0 a z , quando invece la x va da z a 1 la y si sposta da x-z a 1.
Chiaramente so che non è così , ma questo è quello che direbbe la mia logica folle , se devo fare il tutto impostando un singolo doppio integrale manco so da dove cominciare a mettere gli estremi,ripeto,per altri esercizi riesco anche a farmi un'idea,ma qui proprio no ! Da come la vedo io la y prima varia in un certo intervallo,poi in un altro
Sono un macello, lo so
Questo invece non so davvero dove metter mani, son 40 minuti che guardo il grafico e non capisco, ho provato a fare diverse prove, ma se per altri esercizi gli estremi di integrazione riesco più o meno a trovarli qua proprio nada de nada!
Dall'alto della mia ignoranza mi sembra ad esempio che la y vada da 0 a x+z solo quando la x va da 0 a z , quando invece la x va da z a 1 la y si sposta da x-z a 1.
Chiaramente so che non è così , ma questo è quello che direbbe la mia logica folle , se devo fare il tutto impostando un singolo doppio integrale manco so da dove cominciare a mettere gli estremi,ripeto,per altri esercizi riesco anche a farmi un'idea,ma qui proprio no ! Da come la vedo io la y prima varia in un certo intervallo,poi in un altro
Sono un macello, lo so
ora iniziamo il primo che hai messo degli esami
$X,Y$ esp negative con $lambda=1$ calcolare la distribuzione di $Z=2X-Y$. Intanto notiamo che, essendo $x,y>=0$ ciò implica che $z in RR$
Procediamo come al solito
$P(Z<=z)=P(2X-Y<=z)=P(y>=2x-z)$
ora iniziano i problemi.... infatti, disegnando il grafico vediamo che:
Se $z<0$ l'area di integrazione sta sopra la semiretta nel grafico di sinistra....ed è di facile integrazione....purtroppo se $z>0$ come puoi notare, dovendo essere necessariamente $y>0$ occorre integrare l'area tratteggiata nel grafico di destra e quindi dobbiamo spezzare l'ìntegrale doppio.
Quindi:
$z<0$
$F_(Z)=int_(0)^(oo)int_(2x-z)^(oo)e^(-x)e^(-y)dxdy=...=e^z/3$
se invece $z>0$
allora l'integrale diventa
$F_(Z)=int_(0)^(z/2)int_(0)^(oo)e^(-x)e^(-y)dxdy+int_(z/2)^(oo)int_(2x-z)^(oo)e^(-x)e^(-y)dxdy=...=1-2/3e^(-z/2)$
quindi in definitiva abbiamo
$F_(Z)(z)={{: ( e^z/3 , ;z<0 ),( 1-2/3e^(-z/2) , ;z>=0 ) :}$
lo so che è un po' un macello....prova a vedere se capisci i passaggi se no domani intervengo...fammi sapere cosa non riesci a capire....se ti può consolare anche io sono laureato in Economia....quindi non ho tutte ste basi....ma le cose che non sapevo me le sono guardate da solo....dai su....che dopo peggiora!
Ora veniamo a questo:
$X,Y$ indipendenti e uniformi su $[0;1]$.
$Z=X/(X+Y)$
notiamo subito che il dominio di $Z$ è anch'esso $[0;1]$. Per rendertene conto prova a far variare $x$ e $y$ fra zero e uno...e vedi come varia $z$....
dato che le variabili sono uniformi su zero uno....non serve la doppia integrazione ma, come ti ho già sottolineato, la FdR coincide con l'area di integrazione....
Quindi passiamo alla definizione di $F_(Z)$
$F_(Z)(z)=P(Z<=z)=P(X/(X+Y)(1-z)/zX)$ ovvero $y$ sta sopra la retta che esce dall'origine e di coefficiente angolare $(1-z)/z$
il grafico del dominio è questo:
come puoi notare, l'area di integrazione varia al variare del "parametro" $z$...se $z<1/2$ l'area è il triangolino in alto a destra del secondo grafico...se invece $z>1/2$ allora l'area diventa il trapezio tratteggiato nel grafico di sinistra....quindi ciò significa che anche la nostra FdR avrà una forma diversa, a seconda che z sia maggiore o minore di $1/2$
Il calcolo delle aree è facilissimo...al solito, l'area del trapezio sarà l'area del quadrato meno il triangolino bianco e quindi otteniamo:
$F_(z)(z)={{: ( 0 , ;z<0 ),( z/(2(1-z)) , ;0<=z<1/2 ),( 1-(1-z)/(2z) , ;1/2<=z<1 ),( 1 , ;z>=1 ) :}$
per ora direi di non andare avanti con il resto dei quesiti....guarda molto ma molto bene questi passaggi, fammi tutte le domande che ritieni necessarie...ricordati tutte queste cose ti devono essere chiarissime prima di continuare....
per ogni necessità (statistica, ovviamente) sono qui
$X,Y$ esp negative con $lambda=1$ calcolare la distribuzione di $Z=2X-Y$. Intanto notiamo che, essendo $x,y>=0$ ciò implica che $z in RR$
Procediamo come al solito
$P(Z<=z)=P(2X-Y<=z)=P(y>=2x-z)$
ora iniziano i problemi....
infatti, disegnando il grafico vediamo che:Se $z<0$ l'area di integrazione sta sopra la semiretta nel grafico di sinistra....ed è di facile integrazione....purtroppo se $z>0$ come puoi notare, dovendo essere necessariamente $y>0$ occorre integrare l'area tratteggiata nel grafico di destra e quindi dobbiamo spezzare l'ìntegrale doppio.
Quindi:
$z<0$
$F_(Z)=int_(0)^(oo)int_(2x-z)^(oo)e^(-x)e^(-y)dxdy=...=e^z/3$
se invece $z>0$
allora l'integrale diventa
$F_(Z)=int_(0)^(z/2)int_(0)^(oo)e^(-x)e^(-y)dxdy+int_(z/2)^(oo)int_(2x-z)^(oo)e^(-x)e^(-y)dxdy=...=1-2/3e^(-z/2)$
quindi in definitiva abbiamo
$F_(Z)(z)={{: ( e^z/3 , ;z<0 ),( 1-2/3e^(-z/2) , ;z>=0 ) :}$
lo so che è un po' un macello....prova a vedere se capisci i passaggi se no domani intervengo...fammi sapere cosa non riesci a capire....se ti può consolare anche io sono laureato in Economia....quindi non ho tutte ste basi....ma le cose che non sapevo me le sono guardate da solo....dai su....che dopo peggiora!
Ora veniamo a questo:
"Ste_1990":
Questo invece non so davvero dove metter mani, son 40 minuti che guardo il grafico e non capisco, ho provato a fare diverse prove, ma se per altri esercizi gli estremi di integrazione riesco più o meno a trovarli qua proprio nada de nada!
$X,Y$ indipendenti e uniformi su $[0;1]$.
$Z=X/(X+Y)$
notiamo subito che il dominio di $Z$ è anch'esso $[0;1]$. Per rendertene conto prova a far variare $x$ e $y$ fra zero e uno...e vedi come varia $z$....
dato che le variabili sono uniformi su zero uno....non serve la doppia integrazione ma, come ti ho già sottolineato, la FdR coincide con l'area di integrazione....
Quindi passiamo alla definizione di $F_(Z)$
$F_(Z)(z)=P(Z<=z)=P(X/(X+Y)
il grafico del dominio è questo:
come puoi notare, l'area di integrazione varia al variare del "parametro" $z$...se $z<1/2$ l'area è il triangolino in alto a destra del secondo grafico...se invece $z>1/2$ allora l'area diventa il trapezio tratteggiato nel grafico di sinistra....quindi ciò significa che anche la nostra FdR avrà una forma diversa, a seconda che z sia maggiore o minore di $1/2$
Il calcolo delle aree è facilissimo...al solito, l'area del trapezio sarà l'area del quadrato meno il triangolino bianco e quindi otteniamo:
$F_(z)(z)={{: ( 0 , ;z<0 ),( z/(2(1-z)) , ;0<=z<1/2 ),( 1-(1-z)/(2z) , ;1/2<=z<1 ),( 1 , ;z>=1 ) :}$
per ora direi di non andare avanti con il resto dei quesiti....guarda molto ma molto bene questi passaggi, fammi tutte le domande che ritieni necessarie...ricordati tutte queste cose ti devono essere chiarissime prima di continuare....
per ogni necessità (statistica, ovviamente) sono qui
"Ste_1990":
Per l'area calcolata geometricamente:
Prendo il triangolino in alto a destra, il primo lato si calcola banalmente vedendo asse y: (1-z) , a questo punto devo calcolare l'altro lato, cerco il punto di intersezione mettendo a sistema l'equazione della retta y=x+z con equazione della retta y=1 trovando x=1-z.
A questo punto faccio (base*altezza)/2 e ho la mia area = $ (1-z)^2/2 $ , procendo in modo analogo per l'altro triangolino, unica differenza è che interseco retta y=x-z con retta x=1, anche in questo caso ottengo un'area di $ (1-z)^2/2 $ .
L'area del quadrato è lato per lato, ovvero 1.
1 - $ (1-z)^2/2 $ - $ (1-z)^2/2 $
E mi viene diversa dalla tua soluzione.. Quindi.. Che ho sbagliato?
Mi vergogno di quello che ho scritto,stamattina appena sveglio,quando ero ancora nel letto,mi sono reso conto da solo fosse una boiata .
"tommik":
come puoi notare, l'area di integrazione varia al variare del "parametro" $z$...se $z<1/2$ l'area è il triangolino in alto a destra del secondo grafico...se invece $z>1/2$ allora l'area diventa il trapezio tratteggiato nel grafico di sinistra....quindi ciò significa che anche la nostra FdR avrà una forma diversa, a seconda che z sia maggiore o minore di $1/2$
Il calcolo delle aree è facilissimo...al solito, l'area del trapezio sarà l'area del quadrato meno il triangolino bianco e quindi otteniamo:
$F_(z)(z)={{: ( 0 , ;z<0 ),( z/(2(1-z)) , ;0<=z<1/2 ),( 1-(1-z)/(2z) , ;1/2<=z<1 ),( 1 , ;z>=1 ) :}$
per ora direi di non andare avanti con il resto dei quesiti....guarda molto ma molto bene questi passaggi, fammi tutte le domande che ritieni necessarie...ricordati tutte queste cose ti devono essere chiarissime prima di continuare....
per ogni necessità (statistica, ovviamente) sono qui
Ok ci sono, faccio sempre lo stesso errore: parto in quarta per impostare il doppio integrale.
Per il resto non è andata male, al grafico ci ero più o meno arrivato, anche le aree dopo aver letto che non dovevo usare gli integrali , ma la geometria son riuscito a calcolarle agevolmente.
Impostare il doppio integrale nei due casi (z<1/2 e z>1/2) è complicato?
Più o meno ho capito parte del ragionamento che si fa , però mi manca un pezzo,ovvero.. Prendiamo ad esempio z<1/2:
Devo calcolare l'area di quel triangolino, mi verrebbe quindi da fare:
$ int_(0)^(1) int_((1-z)/z*x)^(1) dy dx $
Mentre se vado a vedere z>1/2 non so dove metter mani, cioè.. mi verrebbe da impostare il doppio integrale con gli stessi estremi di prima,ma è ovviamente sbagliato, sostanzialmente mi manca proprio il ragionamento da fare quando voglio cercare gli estremi e senza ragionamento sto sbattendo la testa da un sacco di tempo su tanti esercizi, ma nada.. Mi blocco!
Ora passo al secondo esercizio
mentre stavo per passare al secondo esercizio mi sono reso conto di un'altra cosa:
non mi è perfettamente chiaro perchè distinguiamo tra i due casi in base se z sia minore o maggiore di 1/2, cioè.. Non riesco a capire benissimo perchè sono interessato a vedere se la retta stia sopra o sotto quella di equazione y=x. Quale ragionamento devo fare?
non mi è perfettamente chiaro perchè distinguiamo tra i due casi in base se z sia minore o maggiore di 1/2, cioè.. Non riesco a capire benissimo perchè sono interessato a vedere se la retta stia sopra o sotto quella di equazione y=x. Quale ragionamento devo fare?
"tommik":
se $z<0$ l'area di integrazione sta sopra la semiretta nel grafico di sinistra....ed è di facile integrazione....purtroppo se $z>0$ come puoi notare, dovendo essere necessariamente $y>0$ occorre integrare l'area tratteggiata nel grafico di destra e quindi dobbiamo spezzare l'ìntegrale doppio.
Quindi:
$z<0$
$F_(Z)=int_(0)^(oo)int_(2x-z)^(oo)e^(-x)e^(-y)dxdy=...=e^z/3$
se invece $z>0$
allora l'integrale diventa
$F_(Z)=int_(0)^(z/2)int_(0)^(oo)e^(-x)e^(-y)dxdy+int_(z/2)^(oo)int_(2x-z)^(oo)e^(-x)e^(-y)dxdy=...=1-2/3e^(-z/2)$
Ok, qui sono andato nettamente meglio, trovata la distinzione tra z minore o maggiore di z son riuscito ad impostare il doppio caso e anche sugli estremi degli integrali me la sono cavata piuttosto bene.
Restano i dubbi di prima, ovvero:
1) da cosa mi accorgo sistematicamente della necessità di dividere in più casi? quale domanda conviene porsi per vedere se farlo o meno?
2) Caso z<0 perchè si sceglie di integrare la x tra 0 e infinito mentre si blocca la y tra la retta e infinito?
Cioè.. E' una regola? Convenzione?Avrei potuto fare anche l'inverso?
Stiamo sempre lì.. Mi manca il ragionamento, la sequenza logica da seguire
"Ste_1990":
Prendiamo ad esempio z<1/2:
Devo calcolare l'area di quel triangolino, mi verrebbe quindi da fare:
$ int_(0)^(1) int_((1-z)/z*x)^(1) dy dx $
no. verrebbe così:
$ int_(0)^(z/(1-z)) int_((1-z)/z*x)^(1) dy dx $
quello che hai fatto tu, invece, è l'area dell'altro grafico...quello con $z>1/2$
Tanto appena hai assimilato questo ragionamento facciamo un altro metodo...dove l'integrale doppio non si fa più hihihi
si può calcolare direttamente la densità senza passare per l'integrale doppio.....con una formula che dovresti conoscere
"tommik":
tanto appena hai assimilato questo ragionamento facciamo un altro metodo...dove l'integrale doppio non si fa più hihihi
si può calcolare direttamente la densità senza passare per l'integrale doppio.....con una formula che dovresti conoscere
che gioia ahahahha
In settimana dò una letta anche all'altro topic che hai postato poco sotto,la formula l'avevo già vista,per ora però non vorrei mettere troppa carne al fuoco.
La priorità è capire quei diavolo di estremi di integrazione!
So che devo fare esercizi,ma fatico a trovarne di buoni commentati come dio comanda per far sì che uno riesca a capire, suggerimenti?
prima ho dato un'occhiata anche all'esercizio C....che non volevo nemmeno fare perché pensavo banale.....non ho fatto tutti i conti, ho trovato la strada per risolverlo....ma ci ho dovuto pensare circa 30 minuti.....
E' un esempio decisamente interessante su un argomento banale....giusto per curiosità....ma dov'è che studi?
E' un esempio decisamente interessante su un argomento banale....giusto per curiosità....ma dov'è che studi?
"tommik":
prima ho dato un'occhiata anche all'esercizio C....che non volevo nemmeno fare perché pensavo banale.....non ho fatto tutti i conti, ho trovato la strada per risolverlo....ma ci ho dovuto pensare circa 30 minuti.....
E' un esempio decisamente interessante su un argomento banale....giusto per curiosità....ma dov'è che studi?
Ti rispondo con un msg privato
"tommik":
se $z<0$ l'area di integrazione sta sopra la semiretta nel grafico di sinistra....ed è di facile integrazione....purtroppo se $z>0$ come puoi notare, dovendo essere necessariamente $y>0$ occorre integrare l'area tratteggiata nel grafico di destra e quindi dobbiamo spezzare l'ìntegrale doppio.
Quindi:
$z<0$
$F_(Z)=int_(0)^(oo)int_(2x-z)^(oo)e^(-x)e^(-y)dxdy=...=e^z/3$
se invece $z>0$
allora l'integrale diventa
$F_(Z)=int_(0)^(z/2)int_(0)^(oo)e^(-x)e^(-y)dxdy+int_(z/2)^(oo)int_(2x-z)^(oo)e^(-x)e^(-y)dxdy=...=1-2/3e^(-z/2)$
Ho provato a fare l'integrale nel caso z>0 diverse volte, il risultato mi viene leggermente diverso, puoi darmi la conferma che sono io ad aver sbagliato?
ho fatto i conti in fretta...domani ricontrollo....però la funzione mi viene giusta....a te cosa viene?
"tommik":
ho fatto i conti in fretta...domani ricontrollo....però la funzione mi viene giusta....a te cosa viene?
l'esponente alla z mi viene -2z, ma son abbastanza sicuro di aver sbagliato io
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