Intervallo di fiducia
Ciao a tutti, avrei un dubbio... come posso trovare un intervallo di fiducia per un parametro di una variabile non distribuita normalmente nel caso dei piccoli campioni?
Ad esempio, in un esercizio mi viene dato un campione aleatorio $(Y_1,...Y_n)$ di variabili i.i.d, distribuite come $Y:=X-\theta$ e $X~exp(\lambda)$.
Ho trovato che uno stimatore non distorto e consistente per $\theta$ è $\Theta_n=1/\lambda - \bar(Y)^{(n)}$ e nel caso dei grandi campioni non ci sono problemi, visto che comunque posso ricondurmi a una distribuzione che è asintotica a una normale standard per $n$ che va a $+\infty$, ma nel caso dei piccoli campioni non so come fare... ho trovato che se una variabile $W$ è distribuita come una $\Gamma(n,1/\lambda)$, allora $2\lambda W~\chi^2(2n)$, che è una distribuzione utile nel caso si vogliano determinare intervalli di fiducia per piccoli campioni della media di una normale non standard, però in questo caso non so se può essermi utile...
Ad esempio, in un esercizio mi viene dato un campione aleatorio $(Y_1,...Y_n)$ di variabili i.i.d, distribuite come $Y:=X-\theta$ e $X~exp(\lambda)$.
Ho trovato che uno stimatore non distorto e consistente per $\theta$ è $\Theta_n=1/\lambda - \bar(Y)^{(n)}$ e nel caso dei grandi campioni non ci sono problemi, visto che comunque posso ricondurmi a una distribuzione che è asintotica a una normale standard per $n$ che va a $+\infty$, ma nel caso dei piccoli campioni non so come fare... ho trovato che se una variabile $W$ è distribuita come una $\Gamma(n,1/\lambda)$, allora $2\lambda W~\chi^2(2n)$, che è una distribuzione utile nel caso si vogliano determinare intervalli di fiducia per piccoli campioni della media di una normale non standard, però in questo caso non so se può essermi utile...
Risposte
non sono affatto sicuro di avere ben compreso il problema...ma mi è venuta un'idea (da prendere con le dovute cautele)
dato che ti dice che il campione casuale è riferito ad $Y$ suppongo che il parametro $lambda $ sia noto e quindi non da stimare (altrimenti servirebbero i dati campionari anche della variabile X)...per semplicità diciamo che è 1
Quindi la $Y$ si distribuisce così:
$f(y)=e^(-(y+theta))I_([-theta;oo))(y)$
Ora trovi lo stimaotore di MV di $theta$ che è $hat(theta)=-min(y)$
trovi la distribuzione dello stimatore, ecc ecc
secondo me funziona...
dato che ti dice che il campione casuale è riferito ad $Y$ suppongo che il parametro $lambda $ sia noto e quindi non da stimare (altrimenti servirebbero i dati campionari anche della variabile X)...per semplicità diciamo che è 1
Quindi la $Y$ si distribuisce così:
$f(y)=e^(-(y+theta))I_([-theta;oo))(y)$
Ora trovi lo stimaotore di MV di $theta$ che è $hat(theta)=-min(y)$
trovi la distribuzione dello stimatore, ecc ecc
secondo me funziona...
Avevo provato anch'io questa strada e ho trovato lo stesso stimatore, con densità
$f_{\Theta_n}(x)=\lambda n e^{-\lambda n(\theta-x)}$
con valore atteso $\mu=\theta + 1/(\lambda n)$, quindi asintoticamente non distorto, il problema poi sorge nel determinare l'intervallo. Io avevo pensato di trovare un intervallo centrato nello stimatore, con gli estremi che si distaccavano di $k$ deviazioni standard, quindi:
$I=[\Theta_n -k \sigma(n), \Theta_n +k \sigma(n)]$, dove con $\sigma(n)$ denoto la deviazione standard di $\Theta_n$ che dipenda da $n$ in modo tale che $lim_{n \to +\infty}sigma(n)=0$, ma non so come procedere...
$f_{\Theta_n}(x)=\lambda n e^{-\lambda n(\theta-x)}$
con valore atteso $\mu=\theta + 1/(\lambda n)$, quindi asintoticamente non distorto, il problema poi sorge nel determinare l'intervallo. Io avevo pensato di trovare un intervallo centrato nello stimatore, con gli estremi che si distaccavano di $k$ deviazioni standard, quindi:
$I=[\Theta_n -k \sigma(n), \Theta_n +k \sigma(n)]$, dove con $\sigma(n)$ denoto la deviazione standard di $\Theta_n$ che dipenda da $n$ in modo tale che $lim_{n \to +\infty}sigma(n)=0$, ma non so come procedere...
procederi per quella strada che hai interrotto
La densità trovata è definita in $x in (-oo;theta)$ ed è corretta. Ora ti basta standardizzarla eliminando $theta$ e dopo puoi risolvere l'integrale trovando gli estremi dell'intervallo di fiducia di ampiezza minima.
Il modello si standardizza come modello di posizione ponendo $theta-x=w$
ed ottenendo $f(w)=lambdan e^(-lambdan w)I_((0;oo))(w)$
Che (guarda che culo) è un'esponenziale....
e poi non ti resta che risolvere
$int_(0)^(a)f(w)dw=1-alpha $
Trovando il valore a per avere l'intervallo di ampiezza minima, sostituendo e trovando l'intervallo di $ theta $ in funzione del miny
La densità trovata è definita in $x in (-oo;theta)$ ed è corretta. Ora ti basta standardizzarla eliminando $theta$ e dopo puoi risolvere l'integrale trovando gli estremi dell'intervallo di fiducia di ampiezza minima.
Il modello si standardizza come modello di posizione ponendo $theta-x=w$
ed ottenendo $f(w)=lambdan e^(-lambdan w)I_((0;oo))(w)$
Che (guarda che culo) è un'esponenziale....
e poi non ti resta che risolvere
$int_(0)^(a)f(w)dw=1-alpha $
Trovando il valore a per avere l'intervallo di ampiezza minima, sostituendo e trovando l'intervallo di $ theta $ in funzione del miny
Ahhh perfetto, ora è tutto chiaro, grazie mille come sempre!!
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