Intervallo di fiducia
Salve ragazzi, 
cortesemente potreste dirmi se il ragionamento che faccio per risolvere questo esercizio, al di là dei conti, è corretto?
Il problema è il seguente:
Supponiamo che su $26$ lanci di un dado $10$ volte escano il $5$ o il $6$ e le altre volte esca un numero $<5$. Determinare un intervallo di confidenza simmetrico di livello $95%$ per $\theta$ la probabilità di ottenere il $5$ o il $6$.
Abbiamo $26$ v.a. bernoulliane indipendenti, ognuna delle quali assume il valore $1$ se esce il $5$ o il $6$ ed il valore $0$ se escono i numeri minori di cinque.
Calcolo la media empirica:
$\overline{X} =1/26sum_(i=1)^(26)X_i=10/26=0.385$
Calcolo la varianza(empirica)
$S^2=1/25[10(1-0.385)^2+16(-0.385)^2]=0.246$ da cui
$S=0.496$
Alla fine mi viene un intervallo simmetrico considerando la t di Student.
A conti fatti mi viene $[0.185,0.585]$
Vi ringrazio
cortesemente potreste dirmi se il ragionamento che faccio per risolvere questo esercizio, al di là dei conti, è corretto?Il problema è il seguente:
Supponiamo che su $26$ lanci di un dado $10$ volte escano il $5$ o il $6$ e le altre volte esca un numero $<5$. Determinare un intervallo di confidenza simmetrico di livello $95%$ per $\theta$ la probabilità di ottenere il $5$ o il $6$.
Abbiamo $26$ v.a. bernoulliane indipendenti, ognuna delle quali assume il valore $1$ se esce il $5$ o il $6$ ed il valore $0$ se escono i numeri minori di cinque.
Calcolo la media empirica:
$\overline{X} =1/26sum_(i=1)^(26)X_i=10/26=0.385$
Calcolo la varianza(empirica)
$S^2=1/25[10(1-0.385)^2+16(-0.385)^2]=0.246$ da cui
$S=0.496$
Alla fine mi viene un intervallo simmetrico considerando la t di Student.
A conti fatti mi viene $[0.185,0.585]$
Vi ringrazio
Risposte
hai fatto un po di confusione.
La tua distribuzione X: esce 5 o 6 in 26 lanci del dado è una binomiale $B(26;1/3)$. La regola empirica è che se $np>=5$ (in questo caso $np~=9$) i dati sono sufficientemente grandi per approssimare la distribuzione binomiale con una normale (teorema del limite centrale).
In sostanza si tratta di un campionamento da distribuzione bernulliana con $n$ grande. La media della media campionaria è $theta$ mentre la varianza della media campionaria è $(hat(theta)(1-hat(theta)))/n$ quindi la quantità pivotale da usare è:
$(hat(theta)-theta)/sqrt((hat(theta)(1-hat(theta)))/n)~N(0;1)$
e quindi l'intervallo cercato è
$[hat(theta)-Z_(alpha/2)sqrt((hat(theta)(1-hat(theta)))/n);hat(theta)+Z_(alpha/2)sqrt((hat(theta)(1-hat(theta)))/n) ]$
ora puoi terminare i conti ottenendo l''intervallo simmetrico $[0.198;0.572]$
La tua distribuzione X: esce 5 o 6 in 26 lanci del dado è una binomiale $B(26;1/3)$. La regola empirica è che se $np>=5$ (in questo caso $np~=9$) i dati sono sufficientemente grandi per approssimare la distribuzione binomiale con una normale (teorema del limite centrale).
In sostanza si tratta di un campionamento da distribuzione bernulliana con $n$ grande. La media della media campionaria è $theta$ mentre la varianza della media campionaria è $(hat(theta)(1-hat(theta)))/n$ quindi la quantità pivotale da usare è:
$(hat(theta)-theta)/sqrt((hat(theta)(1-hat(theta)))/n)~N(0;1)$
e quindi l'intervallo cercato è
$[hat(theta)-Z_(alpha/2)sqrt((hat(theta)(1-hat(theta)))/n);hat(theta)+Z_(alpha/2)sqrt((hat(theta)(1-hat(theta)))/n) ]$
ora puoi terminare i conti ottenendo l''intervallo simmetrico $[0.198;0.572]$
Buongiorno!
Perdona la mia ignoranza, tommik!
Il mio professore non ha fatto le quantità pivotali
Abbiamo solo detto che $sqrt(n)(\overline{X}-\mu)/S$
è di Student
e da qui il calcolo di un intervallo di fiducia......
Tuttavia, il mio prof ci ha detto di utilizzare l'approssimazione normale, solo quando non riusciamo a calcolare S, alla luce di questo, si può risolvere l'esercizio con questi strumenti?
Grazie ancora!
Perdona la mia ignoranza, tommik!
Il mio professore non ha fatto le quantità pivotali
Abbiamo solo detto che $sqrt(n)(\overline{X}-\mu)/S$
è di Student
e da qui il calcolo di un intervallo di fiducia......
Tuttavia, il mio prof ci ha detto di utilizzare l'approssimazione normale, solo quando non riusciamo a calcolare S, alla luce di questo, si può risolvere l'esercizio con questi strumenti?
Grazie ancora!
la formula che il tuo prof ha fatto si chiama:" quantità pivotale"
Una quantità pivotale è una variabile che dipende dai dati e dal parametro da stimare ma la cui distribuzione non dipende più dal parametro.
$(bar(X)-mu)/S sqrt(n)$ è una funzione che dipende dai dati attraverso $bar(X)$ e $S$, dipende dal parametro da stimare, ovvero $mu$, ma si distribuisce come una T di student con $(n-1)$ gradi di libertà....quindi la distribuzione della statistica non dipende più da $mu$: è una quantità pivotale.
Il ragionamento che hai fatto non è sbagliato ma ti sto dicendo che, per n sufficientemente grande, non devi usare la t di student ma la normale. E qui devi usare la normale ottenendo un intervallo di confidenza simmetrico ma più piccolo.
Leggi ad esempio questa facilissima dispensa, pagine 7-8-9
Una quantità pivotale è una variabile che dipende dai dati e dal parametro da stimare ma la cui distribuzione non dipende più dal parametro.
$(bar(X)-mu)/S sqrt(n)$ è una funzione che dipende dai dati attraverso $bar(X)$ e $S$, dipende dal parametro da stimare, ovvero $mu$, ma si distribuisce come una T di student con $(n-1)$ gradi di libertà....quindi la distribuzione della statistica non dipende più da $mu$: è una quantità pivotale.
Il ragionamento che hai fatto non è sbagliato ma ti sto dicendo che, per n sufficientemente grande, non devi usare la t di student ma la normale. E qui devi usare la normale ottenendo un intervallo di confidenza simmetrico ma più piccolo.
Leggi ad esempio questa facilissima dispensa, pagine 7-8-9
Ho capito... Grazie!
andiamo avanti (se ti interessa):
come si trovano le quantità pivotali?
occorre dividere i modelli in
- modelli di scala
- modelli di posizione
un modello di scala è una funzione del tipo....
ti interessa? se no chiudo qui.....
come si trovano le quantità pivotali?
occorre dividere i modelli in
- modelli di scala
- modelli di posizione
un modello di scala è una funzione del tipo....
ti interessa? se no chiudo qui.....
No, per ora ho abbastanza materiale su cui lavorare!
Grazie del tempo! Buona giornata
Grazie del tempo! Buona giornata
"tommik":
andiamo avanti (se ti interessa):
come si trovano le quantità pivotali
occorre dividere i modelli in
- modelli di scala
- modelli di posizione
un modello di scala è una funzione del tipo....
ti interessa? se no chiudo qui.....
a me, sinceramente parlando. interessa ....
c'entra qualcosa la scala dello spazio parametrico quando vogliamo valutare la compatibilità dell'evidenza campionaria con l'ipotesi nulla, in questo caso la statistica test di Wald: $ w_0=(hat theta-theta_0)/(SE(hat theta)) $ ;
un'altra scala può essere quella della derivata che porta al Test Score: $ S_0=(U(theta_0))/sqrt(mathbb(I(theta_0) ) $
a tal proposito, ne approfitto per chiedere, è giusto scrivere $W_0$? oppure lo zero non ci va..
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