Intervallo di confidenza
La velocità massima raggiungibile su pista da un certo tipo di vettura con una v.a. di tipo non noto ma quasi certamente simmetrica e unimodale. La prova condotta su $n$ $=$ $10$ esemplari scelti a caso dalle auto suddette ha fornito i seguenti risultati in miglia/orarie:
$\Sigma$ $vi$ $=$ $1652$ $;$ $\Sigma$ $vi^2$ $=$ $273765$
Formulare una stima dell’intervallo della media della velocità massima al livello di fiducia $1-α=0,95$ giustificando le ipotesi su cui è basato il calcolo.
Ho pensato di risolverlo in questo modo, calcolando sia la $bar(x) = 165,2$ che la $bar(x^2) = 27376,5$
Fatto cio' , ho applicato la formula per la $sigma^2$ = $Var(x) = E{x^2} - E^2{x} = 85,46$
Per calcolare l'intervallo ho quindi applicato la Cdf Gaussiana standard (perchè il testo allude che sia questa la distribuzione ed inoltre credo approssimi bene delle velocità) :
$P { bar(x) - u_(alpha/2) sigma / sqrt(n) < u < bar(x) + u_(alpha/2) sigma / sqrt(n) } = 0,95$
Considerando il valore $u_(alpha/2) = 1,96$ (è giusto vero?)
Tutto giusto? Ho dei dubbi riguardo l'applicazione della formula della varianza, dato che qui c'è un campione e quindi sarebbe più corretto calcolare la $s^2$.
Alla fine mi risulta $165,2 +- 5,72$.
$\Sigma$ $vi$ $=$ $1652$ $;$ $\Sigma$ $vi^2$ $=$ $273765$
Formulare una stima dell’intervallo della media della velocità massima al livello di fiducia $1-α=0,95$ giustificando le ipotesi su cui è basato il calcolo.
Ho pensato di risolverlo in questo modo, calcolando sia la $bar(x) = 165,2$ che la $bar(x^2) = 27376,5$
Fatto cio' , ho applicato la formula per la $sigma^2$ = $Var(x) = E{x^2} - E^2{x} = 85,46$
Per calcolare l'intervallo ho quindi applicato la Cdf Gaussiana standard (perchè il testo allude che sia questa la distribuzione ed inoltre credo approssimi bene delle velocità) :
$P { bar(x) - u_(alpha/2) sigma / sqrt(n) < u < bar(x) + u_(alpha/2) sigma / sqrt(n) } = 0,95$
Considerando il valore $u_(alpha/2) = 1,96$ (è giusto vero?)
Tutto giusto? Ho dei dubbi riguardo l'applicazione della formula della varianza, dato che qui c'è un campione e quindi sarebbe più corretto calcolare la $s^2$.
Alla fine mi risulta $165,2 +- 5,72$.
Risposte
no, non va bene.
essendo varianza ignota occorre approssimare con una t di Student.
La t di Student può essere dedotta sia utilizzando la varianza campionaria nella foma diviso n che quella diviso (n-1), basta che calcoli in modo opportuno la giusta quantità pivotale distribuita secondo la t.
Per non sbagliare ti consiglio di utilizzare lo schema di calcolo che usi solitamente.
La t di Student è infatti così definita
$t=Z/sqrt(Y/m)$
dove $Z$ è una normale standard: $(bar(x)-mu)/sigma sqrt(n)$
mentre $Y$ è una $chi^2$ con $m $ gradi di libertà e con $Z$ e $Y$ indipendenti
in pratica abbiamo ($bar(X)$ e $S^2$ sono indipendenti nel modello Gaussiano per il teorema di Basu dato che $bar(X)$ è sufficiente e completa mentre $S^2$ è ancillare per $mu$)
$t=((bar(x)-mu)/sigma sqrt(n))/(sqrt((( n-1)S^2)/((n-1)sigma^2)))=(bar(x)-mu)/S sqrt(n)$
e questa dovrebbe essere la forma con cui sei abituato operare
a te i conti
ciao
essendo varianza ignota occorre approssimare con una t di Student.
La t di Student può essere dedotta sia utilizzando la varianza campionaria nella foma diviso n che quella diviso (n-1), basta che calcoli in modo opportuno la giusta quantità pivotale distribuita secondo la t.
Per non sbagliare ti consiglio di utilizzare lo schema di calcolo che usi solitamente.
La t di Student è infatti così definita
$t=Z/sqrt(Y/m)$
dove $Z$ è una normale standard: $(bar(x)-mu)/sigma sqrt(n)$
mentre $Y$ è una $chi^2$ con $m $ gradi di libertà e con $Z$ e $Y$ indipendenti
in pratica abbiamo ($bar(X)$ e $S^2$ sono indipendenti nel modello Gaussiano per il teorema di Basu dato che $bar(X)$ è sufficiente e completa mentre $S^2$ è ancillare per $mu$)
$t=((bar(x)-mu)/sigma sqrt(n))/(sqrt((( n-1)S^2)/((n-1)sigma^2)))=(bar(x)-mu)/S sqrt(n)$
e questa dovrebbe essere la forma con cui sei abituato operare
a te i conti
ciao
Ok, usando la distribuzione di Student (e i dati calcolati in precedenza,considerando la $sigma$ una $s$) mi viene una $T_(0,025,9) = 2,262$, quindi :
$ P { bar(x) - t_(alpha/2) s / sqrt(n) < u < bar(x) + t_(alpha/2) s / sqrt(n) } = 0,95$
Proseguendo mi viene un $IC$ pari a $ [ 165,2 +- 6,61 ] $
E' giusto?
Inoltre , so che la $s^2$ si calcola come $Sigma 1/ (n-1) (x_i - bar(x))^2 $ , quindi non posso applicare la formula della vera e propria varianza $sigma$ alla $s$ ? Se così fosse, come mi calcolo la $s$ dato che non ho le $x_i$ ?
$ P { bar(x) - t_(alpha/2) s / sqrt(n) < u < bar(x) + t_(alpha/2) s / sqrt(n) } = 0,95$
Proseguendo mi viene un $IC$ pari a $ [ 165,2 +- 6,61 ] $
E' giusto?
Inoltre , so che la $s^2$ si calcola come $Sigma 1/ (n-1) (x_i - bar(x))^2 $ , quindi non posso applicare la formula della vera e propria varianza $sigma$ alla $s$ ? Se così fosse, come mi calcolo la $s$ dato che non ho le $x_i$ ?
per il calcolo della varianza "corretta", note le sommatorie dei valori e dei loro quadrati, puoi fare così:
$S^2=n/(n-1)[E(X^2)-E^2(X)]=n/(n-1)[1/n sum_i X_i^2-1/n^2(sum_i X_i)^2]=$
$=1/(n-1) sum_i X_i^2-1/(n*(n-1))(sum_i X_i)^2=273765/9-1/90 1652^2=94,956$
$S=9.74$
mentre la varianza calcolata dividendo tutto per n verrebbe (giustamente più bassa, essendo divisa per n)
$E[X^2]-E^2[X]=27376.5-165.2^2=85.46$
in definitiva il tuo intervallo verrà $+-6.97$
ALTERNATIVAMENTE, puoi anche cambiare la formula dell'intervallo di confidenza così
$bar(x)+-hat(S)/sqrt(n-1) t_(alpha/2)$
Con questa formula modificata, puoi usare la varianza che hai calcolato tu (quella divisa per n e che per non confonderla con l'altra l'ho indicata con $hat(S)$) che il risultato non cambia.
provare per credere:
$sqrt(85.46)*2.262/sqrt(9)=sqrt(94.96)*2.262/sqrt(10)=6.97$
cvd
Però sono ragionamenti che potresti anche far da solo (IMHO), anche perché derivano tutti dalla definizione della t di Student che ti ho messo nel mio post precedente, con tanta fatica per scrivere la formula nei dettagli...oltre che pensarla, dato che non ho sottomano alcun libro....
$S^2=n/(n-1)[E(X^2)-E^2(X)]=n/(n-1)[1/n sum_i X_i^2-1/n^2(sum_i X_i)^2]=$
$=1/(n-1) sum_i X_i^2-1/(n*(n-1))(sum_i X_i)^2=273765/9-1/90 1652^2=94,956$
$S=9.74$
mentre la varianza calcolata dividendo tutto per n verrebbe (giustamente più bassa, essendo divisa per n)
$E[X^2]-E^2[X]=27376.5-165.2^2=85.46$
in definitiva il tuo intervallo verrà $+-6.97$
ALTERNATIVAMENTE, puoi anche cambiare la formula dell'intervallo di confidenza così
$bar(x)+-hat(S)/sqrt(n-1) t_(alpha/2)$
Con questa formula modificata, puoi usare la varianza che hai calcolato tu (quella divisa per n e che per non confonderla con l'altra l'ho indicata con $hat(S)$) che il risultato non cambia.
provare per credere:
$sqrt(85.46)*2.262/sqrt(9)=sqrt(94.96)*2.262/sqrt(10)=6.97$
cvd
Però sono ragionamenti che potresti anche far da solo (IMHO), anche perché derivano tutti dalla definizione della t di Student che ti ho messo nel mio post precedente, con tanta fatica per scrivere la formula nei dettagli...oltre che pensarla, dato che non ho sottomano alcun libro....
Hai ragione, potevo arrivarci anche io, ti ringrazio davvero per il tuo aiuto.
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