Intervallo aleatorio

lukath
Ciao a tutti, avrei un problema con questo esercizio... mi viene data una variabile aleatoria $X$ assolutamente continua con densità di probabilità

$f_X^\theta(x)=2x/\theta^2 1_{(0,\theta)}(x)$, con $\theta>0$.

Bisogna determinare il range di $Y:=X^2/\theta^2$, trovarne la cumulativa e determinare un intervallo aleatorio che dipenda solo da $X$ tale per cui la probabilità che contenga $\theta^2$ sia $1-\alpha=0.95$.

Per le prime due richieste non ho avuto problemi, il range di $Y$ dovrebbe essere $(0,1)$ e dovrebbe essere distribuita come una uniforme su $[0,1]$, il problema è con l'ultima richiesta... pensavo di sfruttare il fatto che $var(X)=\theta^2/18$ e trovarne quindi un intervallo di confidenza di livello $1-\alpha$, ma l'esercizio non parla di un campione aleatorio associato, per cui non so proprio come procedere :shock:

Risposte
Lo_zio_Tom
Il testo chiede "un intervallo aleatorio"....di intervalli aleatori che contengano il $(1-alpha)100%$ della distribuzione ce ne sono infiniti....di solito viene chiesto o l'intervallo aleatorio di ampiezza minima oppure l'intervallo aleatorio con code equiprobabili...qui non specifica nulla quindi faccio come meglio credo..

Dunque io farei così:

Sappiamo (i conti dei punti precedenti sono corretti) che

$F_(X)=x^2/theta^2=Y$

e quindi, per un noto teorema (teorema della trasformazione integrale) sappiamo che $F_(Y)=yI_((0;1))(y)$

A questo punto però sappiamo anche che (il grafico della CDF di y è la bisettrice del primo quadrante con $y in (0;1)$)

$P{0.05
e quindi subito otteniamo che

$x^2

posso chiederti che studi fai?

(posti sempre esercizi molto intelligenti....)

lukath
Perfetto direi! Grazie mille :D Io comunque sto terminando il corso di laurea triennale in Matematica, alla Statale di Milano, mi mancano pochi esami tra cui proprio Probabilità e Statistica :)

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