Intervallo aleatorio
Ciao a tutti, avrei un problema con questo esercizio... mi viene data una variabile aleatoria $X$ assolutamente continua con densità di probabilità
$f_X^\theta(x)=2x/\theta^2 1_{(0,\theta)}(x)$, con $\theta>0$.
Bisogna determinare il range di $Y:=X^2/\theta^2$, trovarne la cumulativa e determinare un intervallo aleatorio che dipenda solo da $X$ tale per cui la probabilità che contenga $\theta^2$ sia $1-\alpha=0.95$.
Per le prime due richieste non ho avuto problemi, il range di $Y$ dovrebbe essere $(0,1)$ e dovrebbe essere distribuita come una uniforme su $[0,1]$, il problema è con l'ultima richiesta... pensavo di sfruttare il fatto che $var(X)=\theta^2/18$ e trovarne quindi un intervallo di confidenza di livello $1-\alpha$, ma l'esercizio non parla di un campione aleatorio associato, per cui non so proprio come procedere
$f_X^\theta(x)=2x/\theta^2 1_{(0,\theta)}(x)$, con $\theta>0$.
Bisogna determinare il range di $Y:=X^2/\theta^2$, trovarne la cumulativa e determinare un intervallo aleatorio che dipenda solo da $X$ tale per cui la probabilità che contenga $\theta^2$ sia $1-\alpha=0.95$.
Per le prime due richieste non ho avuto problemi, il range di $Y$ dovrebbe essere $(0,1)$ e dovrebbe essere distribuita come una uniforme su $[0,1]$, il problema è con l'ultima richiesta... pensavo di sfruttare il fatto che $var(X)=\theta^2/18$ e trovarne quindi un intervallo di confidenza di livello $1-\alpha$, ma l'esercizio non parla di un campione aleatorio associato, per cui non so proprio come procedere

Risposte
Il testo chiede "un intervallo aleatorio"....di intervalli aleatori che contengano il $(1-alpha)100%$ della distribuzione ce ne sono infiniti....di solito viene chiesto o l'intervallo aleatorio di ampiezza minima oppure l'intervallo aleatorio con code equiprobabili...qui non specifica nulla quindi faccio come meglio credo..
Dunque io farei così:
Sappiamo (i conti dei punti precedenti sono corretti) che
$F_(X)=x^2/theta^2=Y$
e quindi, per un noto teorema (teorema della trasformazione integrale) sappiamo che $F_(Y)=yI_((0;1))(y)$
A questo punto però sappiamo anche che (il grafico della CDF di y è la bisettrice del primo quadrante con $y in (0;1)$)
$P{0.05
e quindi subito otteniamo che
$x^2
posso chiederti che studi fai?
(posti sempre esercizi molto intelligenti....)
Dunque io farei così:
Sappiamo (i conti dei punti precedenti sono corretti) che
$F_(X)=x^2/theta^2=Y$
e quindi, per un noto teorema (teorema della trasformazione integrale) sappiamo che $F_(Y)=yI_((0;1))(y)$
A questo punto però sappiamo anche che (il grafico della CDF di y è la bisettrice del primo quadrante con $y in (0;1)$)
$P{0.05
e quindi subito otteniamo che
$x^2
posso chiederti che studi fai?
(posti sempre esercizi molto intelligenti....)
Perfetto direi! Grazie mille
Io comunque sto terminando il corso di laurea triennale in Matematica, alla Statale di Milano, mi mancano pochi esami tra cui proprio Probabilità e Statistica

