Intervalli di confidenza per $\vartheta$
buongiorno,
sto preparando l'esame di statistica matematica e sto cercando (senza grandi risultati) di risolvere questo esercizio:
Sia data X v.a. con legge $U(0,\vartheta)$, con $\vartheta$$>0$.
a. Si definisce un intervallo di confidenza I per $\vartheta$ con $(T,kT)$ con $k>0$ fissato e $T=max{X_i: 1<= i <=n}$. Calcolarne il livello di confidenza in funzione di $k$.
b. Posto pari ad $\alpha$ il livello di confidenza, determinare $k$ in funzione di $\alpha$. Determinare la lunghezza attesa dell'intervallo I.
per trovare $\alpha$:=livello di confidenza devo applicare la seguente formula $P( \chi_\frac{1-\alpha}{2}^2 (2n)
con $\I $ indico l'indicatrice (se ci fosse un modo più elegante per indicarla, vi prego di suggerirmelo)
la densità continua di una X con legge uniforme è $f_x(x)=\frac{1}{b-a}$ $\I _(a,b) (x)$ nel mio caso dato che $a=0$ e $b=\vartheta$ la densità è: $f_x(x)=\frac{1}{\vartheta}$ $\I _(0,\vartheta) (x)$
ora trovo la funzione di ripartizione $F_x(t)=\int_0^tf_x(x)dx=\frac{t}{\vartheta}$ se $x \in (0,\vartheta)$
A questo punto non so come andare avanti (e sinceramente non sono sicuro che la strada sia quella giusta)
finora è corretto? come proseguo? grazie infinite
sto preparando l'esame di statistica matematica e sto cercando (senza grandi risultati) di risolvere questo esercizio:
Sia data X v.a. con legge $U(0,\vartheta)$, con $\vartheta$$>0$.
a. Si definisce un intervallo di confidenza I per $\vartheta$ con $(T,kT)$ con $k>0$ fissato e $T=max{X_i: 1<= i <=n}$. Calcolarne il livello di confidenza in funzione di $k$.
b. Posto pari ad $\alpha$ il livello di confidenza, determinare $k$ in funzione di $\alpha$. Determinare la lunghezza attesa dell'intervallo I.
per trovare $\alpha$:=livello di confidenza devo applicare la seguente formula $P( \chi_\frac{1-\alpha}{2}^2 (2n)
con $\I $ indico l'indicatrice (se ci fosse un modo più elegante per indicarla, vi prego di suggerirmelo)
la densità continua di una X con legge uniforme è $f_x(x)=\frac{1}{b-a}$ $\I _(a,b) (x)$ nel mio caso dato che $a=0$ e $b=\vartheta$ la densità è: $f_x(x)=\frac{1}{\vartheta}$ $\I _(0,\vartheta) (x)$
ora trovo la funzione di ripartizione $F_x(t)=\int_0^tf_x(x)dx=\frac{t}{\vartheta}$ se $x \in (0,\vartheta)$
A questo punto non so come andare avanti (e sinceramente non sono sicuro che la strada sia quella giusta)
finora è corretto? come proseguo? grazie infinite
Risposte
esercizio interessante...
Data la densità $X~U(0;theta)$ con $theta>0$ sappiamo che lo stimatore di max verosimiglianza di $theta$ è
$hat(theta)=max(x)=x_((n))$
La densità di tale stimatore è, come noto:
$f_(max)(t)-={{: ( (nt^(n-1))/theta^n , ;t in (0;theta) ),( 0 , ; al t r o v e ) :}$
ora, guardando la densità in oggetto notiamo che è una famiglia di scala del tipo $f(./theta)$ che è standardizzabile così:
$Q=X_((n))/theta$
con una semplice trasformazione di variabile otteniamo che la densità di $Q$ è la seguente:
$f_(q)(t)-={{: ( nt^(n-1), ;t in (0;1) ),( 0 , ; al t r o v e ) :}$
Dato che tale densità di $Q=X_((n))/theta$ non dipende più dal parametro da stimare, possiamo utilizzarla come quantità pivotale.
A questo punto, per ottenere un intervallo di confidenza a livello $(1-alpha)$ basta determinare ${z_(1);z_(2)}$ tali per cui
$P{z_(1)<=X_((n))/theta<=z_(2)}=1-alpha$ ovvero ${X_((n))/z_(2)<=theta<=X_((n))/z_(1)}$
Risolviamo dunque il nostro integrale ottenendo:
$int_(z_(1))^(z_(2))nt^(n-1)dt=z_(2)^n-z_(1)^n=1-alpha$
ora osserviamo come è fatta la distribuzione della nostra quantità pivotale:
dal grafico appare evidente che l'intervallo di confidenza ottimale (quello con l'ampiezza minore) è quello per cui $z_(2)=1$, da cui segue che $z_(1)=alpha^(1/n)$
In definitiva, l'intervallo trovato è il seguente:
$[x_((n));x_((n))/alpha^(1/n)]$
che è l'intervallo ottimale di $theta$ e rispetta tutte le consegne della traccia..
con questa spiegazione e qualche ragionamento dovresti riuscire a rispondere a tutti i quesiti richiesti
ciao
Data la densità $X~U(0;theta)$ con $theta>0$ sappiamo che lo stimatore di max verosimiglianza di $theta$ è
$hat(theta)=max(x)=x_((n))$
La densità di tale stimatore è, come noto:
$f_(max)(t)-={{: ( (nt^(n-1))/theta^n , ;t in (0;theta) ),( 0 , ; al t r o v e ) :}$
ora, guardando la densità in oggetto notiamo che è una famiglia di scala del tipo $f(./theta)$ che è standardizzabile così:
$Q=X_((n))/theta$
con una semplice trasformazione di variabile otteniamo che la densità di $Q$ è la seguente:
$f_(q)(t)-={{: ( nt^(n-1), ;t in (0;1) ),( 0 , ; al t r o v e ) :}$
Dato che tale densità di $Q=X_((n))/theta$ non dipende più dal parametro da stimare, possiamo utilizzarla come quantità pivotale.
A questo punto, per ottenere un intervallo di confidenza a livello $(1-alpha)$ basta determinare ${z_(1);z_(2)}$ tali per cui
$P{z_(1)<=X_((n))/theta<=z_(2)}=1-alpha$ ovvero ${X_((n))/z_(2)<=theta<=X_((n))/z_(1)}$
Risolviamo dunque il nostro integrale ottenendo:
$int_(z_(1))^(z_(2))nt^(n-1)dt=z_(2)^n-z_(1)^n=1-alpha$
ora osserviamo come è fatta la distribuzione della nostra quantità pivotale:
dal grafico appare evidente che l'intervallo di confidenza ottimale (quello con l'ampiezza minore) è quello per cui $z_(2)=1$, da cui segue che $z_(1)=alpha^(1/n)$
In definitiva, l'intervallo trovato è il seguente:
$[x_((n));x_((n))/alpha^(1/n)]$
che è l'intervallo ottimale di $theta$ e rispetta tutte le consegne della traccia..
con questa spiegazione e qualche ragionamento dovresti riuscire a rispondere a tutti i quesiti richiesti
ciao
grazie mille sei stato chiarissimo!! 
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