Intervalli di confidenza
parto da una domanda un pò vaga: avere un intervallo di confidenza con un livello di confidenza basso, è una cosa negativa?
supponiamo di voler stimare la media $mu$ di una normale di varianza nota $sigma^2$. ne estraggo un campione sperimentale e trovo una media sperimentale $X$ (non so come si mette la barra sopra la X, fate finta che ci sia). per l'intervallo di confidenza dunque avrò:
$P(-q_(1-(alpha)/2) < (X-mu)/(sigma/sqrt(n)) < q_(1-(alpha)/2))=1-alpha$ dove $(X-mu)/(sigma/sqrt(n))$ è $N (0,1)$ allora il livello di confidenza mi rappresenta la percentuale di area che sto considerando della gaussiana no?ma perchè negli esercizi si usano sempre percentuali alte? un livello di confidenza minore vorrebbe dire che accetto una zona di area minore, dunque starei vincolando X a stare più vicino alla media vera, riducendo l'ampiezza dell'intervallo e dunque l'errore. Eppure ogni volta che facendo esercizi, per esempio su un produttore che deve stimare qualcosa, ho trovato rifementi alla riduzione del livello di confidenza avevano una connotazione negativa come se per il produttore in qualche modo costasse, ma non capisco perchè. Quando per esempio si chiede di ridurre l'errore $delta=(sigma*q_(1-alpha/2))/sqrt(n)$ o si aumenta il numero di esperimenti, e capisco che questo rapprenta una perdita per il produttore, o si riduce il quantile ovvero il livello di confidenza... potreste farmi un esempio esplicito in cui si capisce perchè ridurre la confidenza è svantaggioso?
grazie..
supponiamo di voler stimare la media $mu$ di una normale di varianza nota $sigma^2$. ne estraggo un campione sperimentale e trovo una media sperimentale $X$ (non so come si mette la barra sopra la X, fate finta che ci sia). per l'intervallo di confidenza dunque avrò:
$P(-q_(1-(alpha)/2) < (X-mu)/(sigma/sqrt(n)) < q_(1-(alpha)/2))=1-alpha$ dove $(X-mu)/(sigma/sqrt(n))$ è $N (0,1)$ allora il livello di confidenza mi rappresenta la percentuale di area che sto considerando della gaussiana no?ma perchè negli esercizi si usano sempre percentuali alte? un livello di confidenza minore vorrebbe dire che accetto una zona di area minore, dunque starei vincolando X a stare più vicino alla media vera, riducendo l'ampiezza dell'intervallo e dunque l'errore. Eppure ogni volta che facendo esercizi, per esempio su un produttore che deve stimare qualcosa, ho trovato rifementi alla riduzione del livello di confidenza avevano una connotazione negativa come se per il produttore in qualche modo costasse, ma non capisco perchè. Quando per esempio si chiede di ridurre l'errore $delta=(sigma*q_(1-alpha/2))/sqrt(n)$ o si aumenta il numero di esperimenti, e capisco che questo rapprenta una perdita per il produttore, o si riduce il quantile ovvero il livello di confidenza... potreste farmi un esempio esplicito in cui si capisce perchè ridurre la confidenza è svantaggioso?
grazie..
Risposte
Mi sa che devi ripassare la definizione di errore di seconda specie.
Piu'restringi l'intervallo di confidenza, piu' e' probabile che accetti l'ipotesi nulla, ma piu' alta e' anche a probabilita' che commetti l'errore di seconda specie: ossia che accetti la nulla quando invece e' falsa. L'alpha indica invece l'errore di prima specie: ossia che commetti un errore rifiutando la nulla. Quindi alpha non ti interessa quando non stai rifiutando.
Piu'restringi l'intervallo di confidenza, piu' e' probabile che accetti l'ipotesi nulla, ma piu' alta e' anche a probabilita' che commetti l'errore di seconda specie: ossia che accetti la nulla quando invece e' falsa. L'alpha indica invece l'errore di prima specie: ossia che commetti un errore rifiutando la nulla. Quindi alpha non ti interessa quando non stai rifiutando.
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