Intervalli di confidenza (2)
La variabile casuale X è distribuita in modo Normale con una media pari a 150. Determinare lo scarto quadratico medio ($\sigma$) in modo tale che la probabilità che la variabile assuma valori tra le 100 e 200, sia pari a 0.95.
[size=85](Si tenga conto che alcuni quantili della distribuzione Normale standardizzata Z sono i seguenti: z0.950=1.645, z0.965=1.812, z0.975=1.96, z0.985=2.17, z0.99=2.326, z0.995=2.576).[/size]
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Vediamo se ho capito meglio:
da come è formulato l'esercizio, devo trovare $\sigma | P(100 \le X \le 200) = 0.95$
Tradotto analiticamente, ho impostato una formula di questo tipo:
\[
-1.96 \le \frac{\bar{x}- \mu}{\sigma} \le 1,96
\]
Poi ho impostato un sistema
\[
\begin{cases}
\frac{100-150}{\sigma} \ge -1.96 \\
\frac{200-150}{\sigma} \le 1.96
\end{cases}
\]
che mi porta, a meno di errori di calcolo, ad un valore di $\sigma \approx 25.5$.
E' corretto come modo, o ci sono parti da rivedere?
[size=85](Si tenga conto che alcuni quantili della distribuzione Normale standardizzata Z sono i seguenti: z0.950=1.645, z0.965=1.812, z0.975=1.96, z0.985=2.17, z0.99=2.326, z0.995=2.576).[/size]
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Vediamo se ho capito meglio:
da come è formulato l'esercizio, devo trovare $\sigma | P(100 \le X \le 200) = 0.95$
Tradotto analiticamente, ho impostato una formula di questo tipo:
\[
-1.96 \le \frac{\bar{x}- \mu}{\sigma} \le 1,96
\]
Poi ho impostato un sistema
\[
\begin{cases}
\frac{100-150}{\sigma} \ge -1.96 \\
\frac{200-150}{\sigma} \le 1.96
\end{cases}
\]
che mi porta, a meno di errori di calcolo, ad un valore di $\sigma \approx 25.5$.
E' corretto come modo, o ci sono parti da rivedere?
Risposte
Non mi ritrovo sulla notazione che hai usato, soprattutto quando usi $\bar x$ dato che qui non c'è alcun campione.. In ogni caso il risultato finale è corretto 
"tommik":
cerco di rispondere subito prima che cronovirus accenda il pc e gli venga un coccolone....questa relazione...che ancora una volta hai copiato male...scende direttamente dal fatto che la $bar(x)$ ha media $mu$ e varianza =?
ahaha
"tommik":
cerco di rispondere subito prima che cronovirus accenda il pc e gli venga un coccolone....questa relazione...che ancora una volta hai copiato male...scende direttamente dal fatto che la $bar(x)$ ha media $mu$ e varianza =?
\[
S^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x}_n)^2
\]
Questa, no?
"frons79":
[quote="tommik"]
cerco di rispondere subito prima che cronovirus accenda il pc e gli venga un coccolone....questa relazione...che ancora una volta hai copiato male...scende direttamente dal fatto che la $bar(x)$ ha media $mu$ e varianza =?
\[
S^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x}_n)^2
\]
Questa, no?[/quote]
Non è quella.. Comunque il punto è proprio che qui non c'entra la media campionaria, non hai alcun campione. Per essere coerente nella formula dovresti standardizzare dividendo per la varianza della media campionaria che è $\sigma / \sqrt n$ (perchè soprattutto... cosa è $n$ in questo esercizio?! non hai un campione..). E come puoi vedere l'esercizio diventa sbagliato..
Qui giustamente dividi per la deviazione standard semplice, perchè stai standardizzando la variabile aleatoria di partenza..
P.S: la soluzione che hai scritto è indubbiamente corretta, l'ho provata anche sul calcolatore.
"Cronovirus":
[quote="frons79"][quote="tommik"]
cerco di rispondere subito prima che cronovirus accenda il pc e gli venga un coccolone....questa relazione...che ancora una volta hai copiato male...scende direttamente dal fatto che la $bar(x)$ ha media $mu$ e varianza =?
\[
S^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x}_n)^2
\]
Questa, no?[/quote]
Non è quella.. Comunque il punto è proprio che qui non c'entra la media campionaria, non hai alcun campione. Per essere coerente nella formula dovresti standardizzare dividendo per la varianza della media campionaria che è $\sigma / \sqrt n$ (perchè soprattutto... cosa è $n$ in questo esercizio?! non hai un campione..). E come puoi vedere l'esercizio diventa sbagliato..
Qui giustamente dividi per la deviazione standard semplice, perchè stai standardizzando la variabile aleatoria di partenza..
P.S: la soluzione che hai scritto è indubbiamente corretta, l'ho provata anche sul calcolatore.[/quote]
Ok si ammetto di aver fatto un mix di notazioni e formule. Quindi per essere proprio coerenti nelle formule, avrei dovuto formularla così?
\[ -Z_{1-\frac{\alpha}{2}} \le \frac{X- \mu}{\sigma} \le Z_{1-\frac{\alpha}{2}} \]
"frons79":
Ok si ammetto di aver fatto un mix di notazioni e formule. Quindi per essere proprio coerenti nelle formule, avrei dovuto formularla così?
\[ -Z_{1-\frac{\alpha}{2}} \le \frac{X- \mu}{\sigma} \le Z_{1-\frac{\alpha}{2}} \]
Questa formula.. credo che vada bene a patto che poi specifichi come hai scritto nel sistema che lo valuti in x = 100 in una e x = 200 nell'altra disequazione (in accordo al testo dell'esercizio).
"Cronovirus":
[quote="frons79"]
Ok si ammetto di aver fatto un mix di notazioni e formule. Quindi per essere proprio coerenti nelle formule, avrei dovuto formularla così?
\[ -Z_{1-\frac{\alpha}{2}} \le \frac{X- \mu}{\sigma} \le Z_{1-\frac{\alpha}{2}} \]
Questa formula.. credo che vada bene a patto che poi specifichi come hai scritto nel sistema che lo valuti in x = 100 in una e x = 200 nell'altra disequazione (in accordo al testo dell'esercizio).[/quote]
Si, esattamente. Grazie
Prego! Magari tommik dopo riesce a darci una ultima conferma, tanto per essere sicuri
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