Interpretazione esercizio, Variabili casuali discrete, valore atteso e varianza.

[abanob95]

Questo è il testo dell'esercizio:

Al tiro a segno, il 10% dei giocatori hanno probabilità 0.8 di colpire il bersaglio, il 30%
probabilità 0.5, e il 60% probabilità 0.2. Ogni tiro costa 1 euro, e ogni centro dà in
premio 5 euro. Calcola il valore atteso e la varianza della vincita di un partecipante
con un singolo tiro.

Non riesco a capire quali dovrebbero essere le variabili casuali:

Non vince nessuno, vince 1 persona. (0€, 5€)
oppure
Non vince nessuno, vince 1 persona di tipo A, vince 1 persona di tipo B, vince 1 persona di tipo C.

[ghira1]

"Abanob95":
Non vince nessuno, vince 1 persona. (0€, 5€)

"la vincita di un partecipante con un singolo tiro" è o 0 o 5 euro. O -1 contro 4 se contiamo l'euro speso per giocare.

[abanob95]

"ghira":[quote="Abanob95"]
Non vince nessuno, vince 1 persona. (0€, 5€)

"la vincita di un partecipante con un singolo tiro" è o 0 o 5 euro. O -1 contro 4 se contiamo l'euro speso per giocare.[/quote]

Ok, stasera proverò a ragionare da capo in questi termini. Grazie

[abanob95]

"ghira":[quote="Abanob95"]
Non vince nessuno, vince 1 persona. (0€, 5€)

"la vincita di un partecipante con un singolo tiro" è o 0 o 5 euro. O -1 contro 4 se contiamo l'euro speso per giocare.[/quote]

A questo punto prima di poter calcolare il valore atteso, dovrei associare ad X1 = 0€ la propria probabilità e la stessa cosa per X2 = 5€. (o in alternativa -1€ e 4€ se contiamo la spesa iniziale)

La prima intuizione spero corretta è che mi basta calcolare la probabilità di una sola delle 2.
Essendo i dati forniti: P(A) = 10%, P(B) = 30%, P(C) = 60%, P(W|A) = 80%, P(W|B) = 50%, P(W|C) = 20%
Ho pensato di fare: P(X2) = P(W) = P(W|A) * P(A) + P(W|not(A)) * P(not(A))
Dove: P(not(A)) = 1 - P(A) = P(B) + P(C) = 90%

Invece per: P(W|not(A)) non saprei come procedere..

[ghira1]

"Abanob95":
Ho pensato di fare: P(X2) = P(W) = P(W|A) * P(A) + P(W|not(A)) * P(not(A))

Perché non dividi in 3 casi invece di 2?

[abanob95]

"ghira":[quote="Abanob95"]
Ho pensato di fare: P(X2) = P(W) = P(W|A) * P(A) + P(W|not(A)) * P(not(A))

Perché non dividi in 3 casi invece di 2?[/quote]

Cioè scusa? Non abbiamo detto che i risultati sono 2?
Oppure intendi di ragionare su A, B, C invece che A e not(A)?

[ghira1]

"Abanob95":
Oppure intendi di ragionare su A, B, C invece che A e not(A)?

Sì.

[abanob95]

"ghira":[quote="Abanob95"]
Oppure intendi di ragionare su A, B, C invece che A e not(A)?

Sì.[/quote]

Mi rendo conto di essere eccessivamente meccanico..

P(W) = P(W|A) * P(A) + P(W|B) * P(B) + P(W|C) * P(C) ??

[ghira1]

"Abanob95":
P(W) = P(W|A) * P(A) + P(W|B) * P(B) + P(W|C) * P(C) ??

Sì.

[abanob95]

"ghira":[quote="Abanob95"]
P(W) = P(W|A) * P(A) + P(W|B) * P(B) + P(W|C) * P(C) ??

Sì.[/quote]

Ti ringrazio, c'è una maniera su questo forum di ringraziare oltre al semplice grazie scritto?

Comunque visto il titolo della discussione concludo l'esercizio, ti chiedo comunque una conferma se puoi:

Scelgo X = {-1, 4}.
P(X2) = P(W) = 0.8 * 0.1 + 0.5 * 0.3 + 0.2 * 0.6 = 0.35
P(X1) = 1 - P(X2) = 0.65
Valore_Atteso = X1 * P(X1) + X2 * P(X2) = 0.75
Varianza = Valore_Atteso(X^2) - (Valore_Atteso)^2 = X1^2 * P(X1) + X2^2 * P(X2) - (0.75)^2 = 5.6875

Ma è corretto interpretare il tutto dicendo che il 'negoziante' avrà un guadagno di 0.75 +- 5.6875 ? (€)

[ghira1]

"Abanob95":[quote="ghira"][quote="Abanob95"]
Ma è corretto interpretare il tutto dicendo che il 'negoziante' avrà un guadagno di 0.75 +- 5.6875 ? (€)

[/quote][/quote]

No. Non ho controllato i numeri ma comunque no.

[ghira1]

"Abanob95":
Ma è corretto interpretare il tutto dicendo che il 'negoziante' avrà un guadagno di 0.75 +- 5.6875 ? (€)

Cosa non va con $1,5\pm 2,5$?

[ghira1]

"Abanob95":
Varianza = Valore_Atteso(X^2) - (Valore_Atteso)^2 = X1^2 * P(X1) + X2^2 * P(X2) - (0.75)^2 = 5.6875

5.6875 cosa? Ecco perché ho detto di no alla tua domanda successiva.

[abanob95]

"ghira":[quote="Abanob95"]
Varianza = Valore_Atteso(X^2) - (Valore_Atteso)^2 = X1^2 * P(X1) + X2^2 * P(X2) - (0.75)^2 = 5.6875

5.6875 cosa? Ecco perché ho detto di no alla tua domanda successiva.[/quote]

€ al quadrato ?
e quindi bisognava fare +- Sqrt(5.6875)...

[ghira1]

"Abanob95":
e quindi bisognava fare +- Sqrt(5.6875)...

Ma perché? Sappiamo che è $1,5\pm 2,5$.

[abanob95]

"ghira":[quote="Abanob95"]
e quindi bisognava fare +- Sqrt(5.6875)...

Ma perché? Sappiamo che è $1,5\pm 2,5$.[/quote]

Scusa ma non riesco a capire cosa vuoi dirmi...

L'espettazione è tipo una media pesata, la somma dei valori della variabile aleatoria per le rispettive probabilità.
Il valore atteso è quindi in €? Essendo i valori della variabile aleatoria in €...
La varianza è una somma dei discostamenti dei valori della variabile rispetto al valore atteso, il tutto al quadrato moltiplicato sempre per la rispettiva probabilità.
La varianza invece è quindi € al quadrato?

[ghira1]

"Abanob95":[
Scusa ma non riesco a capire cosa vuoi dirmi...

Tu pochi messaggi fa hai chiesto "Ma è corretto interpretare il tutto dicendo che il 'negoziante' avrà un guadagno di 0.75 +- 5.6875?". Perché?

Anche prendendo la radice quadrata di 5.6ecc.. perché?

Sappiamo che il valore è o $-1$ o $4$. Se vogliamo dire che è $1,5\pm 2,5$ possiamo anche farlo.

Perché calcoli $0,75\pm$ qualcosa?

Il tuo $0,75$ tiene conto del costo del biglietto? Poi il guadagno del negoziante sarà negativo se il giocatore mediamente vince, ecc.

[abanob95]

Avrei dovuto dire che essendo che la variabile rappresenta la vincita del partecipante,
valore atteso = 0.75 significa che è molto più probabile che preso un giocatore a caso questo perda? (era $X={-1,4}$)
E se vogliamo dirlo $E[x] +- sqrt(Var(x))$ parla in qualche modo della media delle vincite dei giocatori?

[ghira1]

"Abanob95":
Al tiro a segno, il 10% dei giocatori hanno probabilità 0.8 di colpire il bersaglio, il 30%
probabilità 0.5, e il 60% probabilità 0.2. Ogni tiro costa 1 euro, e ogni centro dà in
premio 5 euro. Calcola il valore atteso e la varianza della vincita di un partecipante

La probabilità di colpire il bersaglio è $0.1*0.8+0.3*0.5+0.6*.0.2=0.35$. Mediamente "vinci" $0.35*5=1.75$ euro.

Ma il costo del biglietto è 1 euro. Quindi mediamente "guadagni" $0.75$ euro. I gestori perdono soldi. Insolito.

La varianza è $0.35*25-1.75^2=5.6875$ euro quadrati come dici. Lo s.q.m. è 2.38qualcosa euro.

Se giochiamo 1000 volte potremmo guadagnare 4000 euro o perdere 1000 euro. Ma probabilmente guadagneremo circa 750 euro. "circa" cosa vuol dire? Quello che hai detto finora non mi convince molto.