***Interessante***: Statistiche d'Ordine

[Ale0010]

Ciao a tutti,

Ho un quesito a cui non sono sicuro di dar risposta corretta.
Date $X_i$ $ ~ $ exp(1) con i da 1 a k-1 indipendenti, si ordinano le v.a in ordine crescente, $X^{(1)}
Definire la distribuzione di $X^{(j+1)}-X^{(j)}$, j da 1 a k-2.

Parto subito dal notare che $X^{(1)}=min_{i=1,2,...,k-1}(X_i)$ è exp(k-1).

Per la distribuzione di $X^{(j)}$ posso utilizzare il fatto che sarà il minimo delle $X_p$ con p che va da j a k-1; in particolare j sarà differente dagli indici delle variabili aleatorie che nell’ordine, vengono prima delle $X^{(i)}$?
Quindi, se questo è corretto, allora $X^{(j)}~exp(k-j)$.

E quindi per trovare la distribuzione della differenze devo utilizzare il metodo della funzione di ripartizione? Esiste un metodo più intelligente?

Grazie mille!!!

[Lo_zio_Tom]

Penso possa venire in aiuto la distribuzione delle statistiche d'ordine

[Ale0010]

Ci ho provato e sono arrivato a dire che $F_{X_{(j+1)}}(x)=F_{X_{(j)}}(x)-( (k-1), (j) ) (1-e^(-x))^j(e^(-x))^(k-j-1)$.

Ora dovrei fare la differenza tra le due V.A. $X_{(j+1)}$ e $X_{(j)}$, ma il fatto che le possa scrivere in questo modo, mi può aiutare?

Inoltre so che la soluzione dovrebbe essere un'esponenziale di parametro $k-j-1$, ma non mi sembra di arrivarci. E' giusta la strada che ho intrapreso?
O è meglio tornare indietro?

Grazie mille.

[Lo_zio_Tom]

E' possibile definire la densità congiunta di due statistiche d'ordine partendo dalla densità congiunta delle (facciamo n) statistiche d'ordine ed integrando tutte le variabili che non interessano

Ad esempio, supponendo di avere $X_((1)),.....,X_((n))$ statistiche d'ordine la densità congiunta

$f_(X_((a))X_((b)))(x,y)=(n!)/((a-1)!(b-a-1)!(n-b)!)[F(x)]^(a-1)[F(y)-F(x)]^(b-a-1)[1-F(y)]^(n-b)f(x)f(y)I_((x;oo))(y)$

Una volta calcolata la densità congiunta delle due statistiche di interesse è facile integrare tale congiunta sull'insieme di interesse $Y-X

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[Ale0010]

Ciao,

Ho provato a farlo e ottengo: $ F_(X_((j+1)),X_((j)))(x,y)=(((k-1)!) / ((j-1)!(k-j-2)!))(1-e^(-x))^(j-1)e^(-x)e^(-y(k-j-1))I_{((x,+oo))}(y) $
E integrando arrivo a:

$ int_(0)^(+oo ) k(1-e^(-x))^(j+1)e^(-x(k-j))dx $

Con $ k=(((k-1)!) / ((j-1)!(k-j-2)!(k-j-1)))(1-e^(-z(k-j-1))) $

Da qui però l’integrale non penso sia risolubile analiticamente.

Qualche idea?

Forse devo usare la proprietà di assenza di memoria?

Grazie mille.

[Lo_zio_Tom]

Hai praticamente finito. I tuoi conti sono giusti ma c'è un refuso nell'integranda.

Svolgendo la prima parte dell'integrale doppio, con qualche semplificazione ottieni:


$F=(Gamma(k))/(Gamma(j)Gamma(k-j))[1-e^(-z(k-j-1))]int_(0)^(+oo)[e^(-x)]^(k-j)(1-e^(-x))^(j-1)dx$

pongo $(1-e^(-x))=u$ e quindi


$F=(Gamma(k))/(Gamma(j)Gamma(k-j))[1-e^(-z(k-j-1))]int_0^1u^(j-1)(1-u)^(k-j-1)du$


$F=(Gamma(k))/(Gamma(j)Gamma(k-j))[1-e^(-z(k-j-1))]"Beta"(j;k-j)=1-e^(-z(k-j-1))$

Esercizio interessante! ho modificato il titolo