Interessante: Domanda su (credo) distribuzione binomiale
Salve a tutti, sono nuovo di questo forum (devo presentarmi?)
ho provato a googlare in lungo e in largo ma non ho trovato risposta al mio dubbio, spero possiate aiutarmi.
ho bisogno di conoscere la probabilità che un evento discreto che si è verificato x volte in un sample di N eventi, abbia probabilità di uscita > p (p è decisa da noi). credo sia una sorta di "inversa di una binomiale"? ma non vorrei dire bestialità.
esempio:
sample N = 100
occorrenze x = 60
quale è la probabilità che la probabilità reale p dell'evento sia > 0.55?
con quale formula si può calcolare?
Grazie per le eventuali risposte.
ho provato a googlare in lungo e in largo ma non ho trovato risposta al mio dubbio, spero possiate aiutarmi.
ho bisogno di conoscere la probabilità che un evento discreto che si è verificato x volte in un sample di N eventi, abbia probabilità di uscita > p (p è decisa da noi). credo sia una sorta di "inversa di una binomiale"? ma non vorrei dire bestialità.
esempio:
sample N = 100
occorrenze x = 60
quale è la probabilità che la probabilità reale p dell'evento sia > 0.55?
con quale formula si può calcolare?
Grazie per le eventuali risposte.
Risposte
Anche se la distribuzione è binomiale, utilizzare tale distribuzione per risolvere il problema non è fattibile per due motivi
1) n è molto grande
2) si richiede che $p>p_0$
Gli stessi motivi che di fatto rendono impraticabile l'uso della distribuzione binomiale aiutano a risolvere il problema utilizzando la distribuzione Gaussiana. Puoi risolvere molto facilmente utilizzando il Teorema di De Moivre - Laplace oppure anche impostando ad hoc il test z di prova delle ipotesi.
oppure anche utilizzando l'approccio bayesiano:
Supponiamo di non avere informazioni a priori sul valore del parametro $theta$
Quindi utilizziamo una distribuzioni a priori uniforme, ovvero una $"Beta"(1;1)$
la verosimigianza è binomiale e di conseguenza la distribuzione a posteriori viene
$pi(theta|ul(x))prop theta^60(1-theta)^40~"Beta"(61;41)$
quindi il problema si risolve calcolando
$int_(0,55)^(1)pi(theta|ul(x))d theta=0,84$
Ovviamente non è necessario calcolare esplicitamente l'integrale ma basta utilizzare la CDF di una distribuzione Beta che ormai si trova dovunque, anche su Excel
Tutte le soluzioni proposte portano al medesimo risultato numerico. Il vantaggio dell'approccio bayesiano sta nel fatto che potremmo decidere di cambiare il risultato inserendo informazioni aggiuntive sul valore del parametro a priori. (ad esempio potremmo sapere da analisi precedenti che il parametro è intorno al 70%) e quindi correggere le previsioni in base ai dati sperimentali....rimane un esercizio interessante e sarebbe bello se altri intervenissero con idee, opinioni ecc ecc
ciao
1) n è molto grande
2) si richiede che $p>p_0$
Gli stessi motivi che di fatto rendono impraticabile l'uso della distribuzione binomiale aiutano a risolvere il problema utilizzando la distribuzione Gaussiana. Puoi risolvere molto facilmente utilizzando il Teorema di De Moivre - Laplace oppure anche impostando ad hoc il test z di prova delle ipotesi.
oppure anche utilizzando l'approccio bayesiano:
Supponiamo di non avere informazioni a priori sul valore del parametro $theta$
Quindi utilizziamo una distribuzioni a priori uniforme, ovvero una $"Beta"(1;1)$
la verosimigianza è binomiale e di conseguenza la distribuzione a posteriori viene
$pi(theta|ul(x))prop theta^60(1-theta)^40~"Beta"(61;41)$
quindi il problema si risolve calcolando
$int_(0,55)^(1)pi(theta|ul(x))d theta=0,84$
Ovviamente non è necessario calcolare esplicitamente l'integrale ma basta utilizzare la CDF di una distribuzione Beta che ormai si trova dovunque, anche su Excel
Tutte le soluzioni proposte portano al medesimo risultato numerico. Il vantaggio dell'approccio bayesiano sta nel fatto che potremmo decidere di cambiare il risultato inserendo informazioni aggiuntive sul valore del parametro a priori. (ad esempio potremmo sapere da analisi precedenti che il parametro è intorno al 70%) e quindi correggere le previsioni in base ai dati sperimentali....rimane un esercizio interessante e sarebbe bello se altri intervenissero con idee, opinioni ecc ecc
ciao
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