Inizio studio della probabilità

[oleg.fresi]

Buongiorno a tutti. Sto iniziando per la prima volta a studiare la teoria della probabilità con un corso universitario.
Vorrei chiarire un concetto. Si è detto che l'approccio corretto alla teoria si ha con gli assiomi di Kolmogorov. Da questi assiomi si può derivare la nota formula valida per eventi equiprobabili, secondo cui la probabilità di un evento è il rapporto tra i casi favorevoli e il numero di casi possibili. Quindi se lancio una moneta ho un'equa probabilità che esca testa e che esca croce. Ma come dimostro che i due sono eventi equiprobabili? In effetti, se lancio una moneta, succede magari che esce due volte testa e una croce, o comunque successioni impredicibili di queste, non come ci si aspetterebbe una volta testa e una croce e così via. Dunque non sono equiprobabili. Ma a prescindere dall'esprimento, posso dimostare se lo sono ppure no? Se invece ho a che fare con eventi non equiprobabili, e ho un modo per calcolare la probabilità che si verifichi un certo evento(tema ancora non da me studiato), accade effettivamente come prevedovo, oppure no. per esempio, sapendo che il lancio della moneto non produce eventi equiprobabili, esiste un modo per determinare l'esatta probabilità con cui ottengo testa o croce? Il mio dubbio deriva essenzialmente dal come, da un punto di vista intutitivo si intende la probabilità, al come poi venga matematicamente formalizzata senza però capire come venga risolto il problema della stima esatta che un un evento accada. Vi ringrazio in anticipo per delucidazioni!

[ghira1]

"ZfreS":Quindi se lancio una moneta ho un'equa probabilità che esca testa e che esca croce. Ma come dimostro che i due sono eventi equiprobabili?

Le monete vere nel mondo reale magari non sono perfettamente simmetriche e bilanciate. E forse cambiano forma ogni volta che vengono lanciate e le probabilità di testa e croce non sono nemmeno costanti.

[ghira1]

"ZfreS":Quindi se lancio una moneta ho un'equa probabilità che esca testa e che esca croce.

Perché "quindi"? E che c'entra con Kolmogorov?

[Bokonon]

"ZfreS":croce? Il mio dubbio deriva essenzialmente dal come, da un punto di vista intutitivo si intende la probabilità, al come poi venga matematicamente formalizzata senza però capire come venga risolto il problema della stima esatta che un un evento accada.

Il (mirabile) lavoro di Kolmogorov è una formalizzazione matematica di una misura chiamata probabilità.
Non dice nulla su cosa sia la probabilità in se ma fornisce l'impianto teorico matematico per poter lavorare con codesta misura.
Il concetto di probabilità invece è ancora oggetto di discussione.
La prima definizione che viene data agli studenti (casi favorevoli/casi totali) è chiaramente insulsa, poichè suppone implicitamente che gli eventi siano equiprobabili. In altre parole, definisce la probabilità supponendo che uno sappia già cosa sia. E' un circolo vizioso. Pure la definizione frequentista soffre del medesimo male.
Nonostante questo, la statistica standard proposta parte dal presupposto che debba esistere un ideale del concetto di probabilità che sia unico e oggettivo, ovvero esterno e indipendente dall'osservatore: in pratica, è un ideale platonico che risiede nell'iperuranio (o nella realtà che ci circonda, come direbbero i neo platonisti) e a cui abbiamo accesso esattamente come abbiamo accesso al concetto di triangolo.

Questo approccio è proprio della prima metà del novecento ed ha condotto allo sviluppo dei test statistici comunemente utilizzati (vedi Fisher).
Ma la storia della probabilità è molto più lunga e parte sostanzialmente con Huyghens, Fermat e Pascal: quest'ultimo in particolare la intendeva come propensione alla scommessa (una sorta di approccio utilitaristico ma con una vena soggettiva).
Ci sono tanti grandi personaggi che si sono cimentati a dare una definizione di probabilità. Persino filosofi come Hume e Popper (ma lasciamo stare).
Fra i più originali e stimolanti, ti segnalo il trattato di Keynes (il padre della macroeconomia) sulla probabilità come credenza. E poi ovviamente la scuola soggettivista di cui fanno parte, per citarne un paio, Savage e il nostro logico De Finetti. L'approccio soggettivista è fondamentalmente basato sull'idea che la probabilità sia legata alle conoscenze del singolo soggetto riguardo un fenomeno in un dato tempo $T_0$ ed esse vengano "rivalutate" nel tempo con nuove informazioni (ricorsività): non sorprende quindi che il teorema di Bayes stia al cuore della formalizzazione soggettivista e che si contrappone a quella classica.

La mia vuole essere solo una panoramica, rapida e purtroppo imprecisa e superficiale.
Trovo assai lodevole che tu ti sia già posto una questione fondamentale che però richiede sia una lettura delle opere (in primis) e a seguire la lettura degli scritti di chi si occupa/è occupato di questo affascinante filone della filosofia contemporanea (spesso filosofi della scienza).
Per quanto mi riguarda, la mia concezione della probabilità è definettiana.

[ghira1]

"ZfreS":non come ci si aspetterebbe una volta testa e una croce e così via.

Cosa intendi con questo?

[oleg.fresi]

Bokonon, ti ringrazio per il feedback. Se ho ben capito dal tuo post, in sostanza, la probabilità ha due facce. Una matematica, con una trattazione astratta svincolata dal lato pratico (teoria della misura) che la interpreta come una misura di qualcosa, e una "realistica" che la vede come un qualcosa di soggettivo, come una misura aprossimata di qualcosa che si crede accadrà con un certo grado di speranza. Dunque, non esiste ancora una risposta definitiva che altrimenti permetterebbe di prevedere con calcoli l'esatto grado di certezza di realizzazione di qualcosa. Sicuramente approfondirò dalle fonti da te citate.

[gio73]

@bokonon
quite an answer!
Ho capito qualcosa a tratti
@ZfreS
penso che il modo migliore per iniziare sia fare qualche esempio e assumere che la moneta sia IDEALE (piacerà questa parola a bokonon?)

se lanci la moneta ideale 4 volte quale combinazione è più probabile:

A) 4 teste
B) 4 croci
C) 2 teste 2 croci (in qualsiasi ordine)
D) 3 di un tipo e una dell'altro (in qualsiasi ordine)
D)

[Bokonon]

"ZfreS":Bokonon, ti ringrazio per il feedback. Se ho ben capito dal tuo post, in sostanza, la probabilità ha due facce. Una matematica, con una trattazione astratta svincolata dal lato pratico (teoria della misura) che la interpreta come una misura di qualcosa,

Usando una similitudine, Kolmogorov ha fatto per la probabilità ciò che Euclide ha fatto per la geometria.
L'assiomatizzazione non dice nulla sugli oggetti in se e da dove provengono (la sfera perfetta non esiste nella realtà e allora da dove viene il concetto?): tant'è che quando i matematici hanno messo in discussione il postulato sulle rette parallele, hanno scoperto nuove geometrie e con esse un concetto più astratto di "retta".

"ZfreS":
e una "realistica" che la vede come un qualcosa di soggettivo, come una misura aprossimata di qualcosa che si crede accadrà con un certo grado di speranza.

Oh no. Non ci siamo proprio: nessuno approssima niente.
L'aleatorietà di un fenomeno è intrinseca al fenomeno stesso e non è riducibile: va descritta e basta.
Il compito di uno statistico è quello di fare emergere (se esiste) la regolarità (legge statistica) da un evento variabile. La statistica in se non è una scienza, ma un corpus metodologico: una raccolta di strumenti adatti ad investigare l'aleatorietà dei fenomeni naturali alla ricerca di uno schema regolare che possa fornire predizioni nel lungo periodo. E' come se apprendessi tutte le tecniche di cucina...ma questo non farebbe di me uno chef. Il vero chef/statistico sa cosa impiegare e quando farlo per raggiungere un risultato significativo attraverso un processo prima deduttivo e poi inferenziale (induttivo).
Tutto ciò è (quasi) indipendente dalla visione che lo statistisco ha della probabilità in se e da dove proviene (concettualmente parlando).
Il dibattito sul concetto stesso di probabilità è sostanzialmente filosofico e al massimo può portare a preferire certe tecniche rispetto ad altre.

"ZfreS":
Dunque, non esiste ancora una risposta definitiva che altrimenti permetterebbe di prevedere con calcoli l'esatto grado di certezza di realizzazione di qualcosa.

Questo perchè non esiste e ora dovrebbe esserti chiaro.
Solo su questo tema potrei scrivere un romanzo.

[Bokonon]

"gio73":@bokonon
quite an answer!

So glad you enjoyed it

"gio73":
penso che il modo migliore per iniziare sia fare qualche esempio e assumere che la moneta sia IDEALE (piacerà questa parola a bokonon?)

Mi piace però estenderei il concetto da moneta a "modello ideale".
Sebbene il classico lancio della moneta sia un modello utile anche per insegnare il calcolo combinatorio, trovo che alla fine possa radicare nella mente dello studente l'idea che il modello ideale sia lo scopo e non uno strumento di indagine in se. Insegnare un modello discreto e far fare qualche calcolo è importante quanto per un aspirante pasticciere lo è cucinare un pan di spagna...ma poi deve farsene qualcosa.

Immaginiamo di avere a che fare con un fenomeno le cui manifestazioni (conosciute) siano A o B: solo due eventi sono possibili sotto condizioni sperimentali identiche (o quasi).
Nell'ipotesi di perfetta ignoranza sul fenomeno in oggetto, non abbiamo alcuna ragione di ritenere che il verificarsi di un evento sia più probabile dell'altro. Quindi il primo modello adatto che prendiamo a riferimento è una binomiale con p=1/2. E' importante evidenziare due fatti: la scelta ad hoc dello strumento e la scelta arbitraria del parametro. Se disponessimo di informazioni riguardo il fenomeno, potremmo benissimo scegliere un diverso valore di p di partenza...o anche cambiare il modello di riferimento (ad esempio con una poisson).

Detto questo, passiamo alle prove ripetute (assumendo di avere isolato il fenomeno, sperimentalmente parlando, da qualsiasi fonte di distorsione). Dopo un numero n di prove, vogliamo confrontare le nostre ipotesi con i dati sperimentali. E qui entrano in gioco ulteriori strumenti di cui lo statistico DEVE conoscerne i limiti, altrimenti può arrivare a conclusioni errate (un classico esempio, adatto al caso in discussione, è la robustezza del test delle medie che, può portare a rigettare le ipotesi iniziali quando sono "palesemente" buone).

Quindi, il vero gioco non consiste nell'ipotizzare la moneta perfetta (che non esiste) ma nel valutare di se e quanto la moneta reale si scosti da essa!

[ghira1]

"ZfreS":per esempio, sapendo che il lancio della moneto non produce eventi equiprobabili, esiste un modo per determinare l'esatta probabilità con cui ottengo testa o croce?

Che tipo di risposta ti aspetti?

Per esempio, se ho una moneta che esce testa con probabilità $\frac{sqrt{2}}{2}$ ad ogni lancio, i lanci sono indipendenti, la probabilità non cambia col tempo, la temperatura, l'altezza sopra il livello del mare ecc., cosa potrei fare nella vita reale per determinare che la probabilità è esattamente $\frac{sqrt{2}}{2}$, e non per esempio $\frac{sqrt{2}}{2}+10^{-100}$?