Ingresso clienti e orario

[mobley]

Rieccomi qui con due problemi su cui sono bloccato, che posterò insieme (sebbene sappia che andrebbero aperti due post separati) perché credo che lo svolgimento sia simile.

Esercizio 1 - Il numero di clienti che entrano in un negozio di alimentari in una data ora si distribuiscono come una variabile di Poisson di parametro $\lambda=10$. Si calcoli la probabilità condizionata che entrino al più di 3 uomini sapendo che sono entrate 10 donne durante quell'ora. Che ipotesi state facendo?

Ho ragionato così. Siccome $N$ (clienti del negozio di alimentari o giunti in stazione) è il numero totale di persone entrate (e siccome nessun cliente può essere contemporaneamente un uomo e una donna, o può entrare contemporaneamente sia nella prima che nelle ore successive) si ha:
- $X$ clienti entrati nella prima ora
- $Y=N-X$ clienti entrati nelle ore successive. Allora:

$\mathbb(P)(X=i,Y=j)=\mathbb(P)(X=i,Y=i+j)=\mathbb(P)(Y=i+j)\mathbb(P)(X=i|Y=i+j)$

Ora, è vero che $N$ si distribuisce come una Poisson (1° esercizio) o come una Uniforme (2° esercizio) ma è anche vero che rappresenta una costante, quindi siccome la probabilità condizionata rispetto a una costante è una probabilità incondizionata risulta

$=\mathbb(P)(Y=i+j)\mathbb(P)(X=i)$

Adesso alla prima probabilità ho provato a sostituire la Poisson/Uniforme e alla seconda probabilità una Binomiale, ma nulla da fare. Forse sto sbagliando dall'inizio… Avete qualche suggerimento?

[Lo_zio_Tom]

"mobley":(sebbene sappia che andrebbero aperti due post separati)

Appunto....lo sai e quindi posta due topi separati, please (i topic non servono solo a te ma dovrebbero servire a molti altri utenti in futuro...)

"mobley":

Si calcoli la probabilità condizionata che entrino al più di 3 uomini sapendo che...

1) al più 3 uomini significa $0,1,2$ o $3$ uomini

2) più di 3 significa $4,5,6,....$ uomini

ma "al più di 3" uomini non significa nulla...capito questo il resto mi sembra semplice (è un problema irrisolvibile a meno di non fare determinate ipotesi)


EDIT: prima di pensarci troppo....anche nel secondo testo mi pare ci sia qualche cosa che non va....arrivano 10 milioni di persone, distribuite uniformemente nell'intervallo $(0;10.000.000)$ e che significa? Serve un intervallo temporale....un giorno, una settimana, $10.000.000$ di secondi ecc ecc (anche qui, una volta stabilito l'esatto intervallo temporale mi sembra tutto molto molto semplice)

[mobley]

Appena metto chiarezza sugli esercizi modifico il post e ne apro due diversi.

Sul primo esercizio (seguendo il ragionamento che ho fatto prima e guardando la tua risposta): [ot]non avevo capito che "al più" volesse dire al massimo $3$[/ot]

$\mathbb(P)(N=10+j)\mathbb(P)(X=10|N=10+j)=\sum_(j=0)^(3)(e^(-10)10^(10+j))/((10+j)!) xx ( (10+j), (10) )(1/2)^10(1/2)^j $

$=(e^(-10)5^(10))/(10!)\sum_(j=0)^(3)(5^j)/(j!)=39,3e^(-5)xx (e^(-5)5^(10))/(10!)$

che essendo la densità di una Poisson di parametro $5$ vale 1.
L'ipotesi è che gli ingressi nel negozio siano indipendenti, immagino.

[Lo_zio_Tom]

scusa eh....ma il testo ti dice (sommessamente) che le ipotesi le devi fare tu....ergo

HP1) Il numero di uomini che entrano nel negozio (diciamo $X$) è indipendente dal numero delle donne (diciamo $Y$)

HP2) la probabilità che entri un uomo è la stessa di quella che entri una donna (forse un po' forzata ma nessuno me lo vieta)

A questo punto il numero dei clienti che mediamente entrano in un'ora è $(X+Y)~ Po(10)$. Per la proprietà di riproducibilità della poisson e le ipotesi fatte il numero di uomini che entrano nel negozio nel lasso temporale di un'ora è $X~ Po(5)$

Data l'indipendenza, calcolare la probabiltà $mathbb{P}[X=x|Y=y]=mathbb{P}[X=x]$

e quindi

i) nel caso sia .....al più 3 ottieni $mathbb{P}[X<=3]=e^(-5)[1+5+5^2/2+5^3/6]~~26.5%$

ii) nel caso sia.... più di 3 ottieni la probabilità complementare al punto i)

Cancella il secondo esercizio e metti un nuovo topic (non appena avrai avuto il testo originario).

[mobley]

"tommik":HP1) Il numero di uomini che entrano nel negozio (diciamo $X$) è indipendente dal numero delle donne (diciamo $Y$) HP2) la probabilità che entri un uomo è la stessa di quella che entri una donna (forse un po' forzata ma nessuno me lo vieta)

Ho capito. In realtà ho usato proprio queste due ipotesi, come vedi. Non le ho espresse come hai fatto correttamente tu.

Ora mi studio bene la tua risposta. Comunque cosa ho sbagliato nei calcoli che ho fatto io? Mi viene lo stesso risultato

"tommik":Cancella il secondo esercizio e metti un nuovo topic (non appena avrai avuto il testo originario)

Provvedo appena lo risolvo

[Lo_zio_Tom]

"mobley": Comunque cosa ho sbagliato nei calcoli che ho fatto io? Mi viene lo stesso risultato

veramente a me viene circa $26.5%$ mentre a te viene

"mobley":

$=(e^(-10)5^(10))/(10!)\sum_(j=0)^(3)(5^j)/(j!)=39,3e^(-5)xx (e^(-5)5^(10))/(10!)$ =0.005

che essendo la densità di una Poisson di parametro $5$ vale 1.

Con la frase:" che essendo la densità di una Poisson di parametro $5$ vale 1" spero tu non intenda dire che

$(e^(-5)5^10)/(10!)$ vale uno....perchè ciò che vale uno è la somma di tutte le probabilità della poisson

$sum_(k=0)^(+oo)(e^(-5)5^k)/(k!)=1$

Sulla stessa falsariga ma più interessante puoi guardare questo

[mobley]

"tommik":Sulla stessa falsariga ma più interessante puoi guardare questo

Provo subito!