Informazione processi stazionari
Ciao a tutti
mi servirebbe una mano per capire le differenze tra media statistica e media temporale di processi aleatori..
nel caso di un processo , definito dalle sue realizzazioni, dove ciascuna è caratterizzata da una propria autocorrelazione e di conseguenza da uno spettro di densità di potenza, definisco una autocorrelazione media che è la media temporale di tutte le autocorrelazioni delle singole realizzazioni..stesso discorso per gli spettri..ma se il processo è stazionario in senso lato come è lo spettro di densità di potenza medio del processo??help
che legame esiste tra le autocorrelazioni statistiche e temporali??
mi servirebbe una mano per capire le differenze tra media statistica e media temporale di processi aleatori..
nel caso di un processo , definito dalle sue realizzazioni, dove ciascuna è caratterizzata da una propria autocorrelazione e di conseguenza da uno spettro di densità di potenza, definisco una autocorrelazione media che è la media temporale di tutte le autocorrelazioni delle singole realizzazioni..stesso discorso per gli spettri..ma se il processo è stazionario in senso lato come è lo spettro di densità di potenza medio del processo??help
che legame esiste tra le autocorrelazioni statistiche e temporali??
Risposte
Se ti limiti a guardare la media e l'autocorrelazione (e quindi lo spettro) non vi è distinzione tra processi stazionari in senso lato e stazionari in senso stretto. Casomai ci sono differenze per momenti superiori al secondo, ma di solito non si guardano mai.
Le medie statistiche sono quelle fatte tramite la funzione di densità di probabilità (ai vari ordini), quindi se fai medie statistiche vuol dire che conosci il processo abbastanza bene da poterlo descrivere con una funzione siffatta (che so, una gaussiana). Per questo tipo di medie non ti è necessario "osservare" il processo in oggetto, perché sai già come si distribuisce. Ad esempio, la media statistica del processo $\mathbf{X}(t)$ al tempo $t$ sarà
\(\displaystyle E[\mathbf{X}(t)]=\int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f_X(x,t)\text{d}x \)
avendo indicato con $f_X(x,t)$ la sua statistica al primo ordine al tempo $t$.
In genere però non è dato sapere quale sia la statistica del processo che si osserva, e ci si chiede pertanto se si può arrivare a calcolare quantità come $E[\mathbf{X}(t)]$, in realtà definite per via statistica come ti ho mostrato prima, ma facendo uso delle realizzazioni del processo e facendo delle medie temporali. Quindi quello che ci si chiede è:
\(\displaystyle \tilde{E}[\mathbf{X}(t)]= \lim_{T\to \infty} \int_0^T \mathbf{X}(t)\text{d}t \) (media temporale)
è uguale a
\(\displaystyle E[\mathbf{X}(t)] = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f_X(x,t)\text{d}x \) (media statistica)?
La stessa domanda puoi fartela per l'autocorrelazione, alla fine anche lei è definita come media, per cui la sua versione temporale sarà
\(\displaystyle \tilde{E}[\mathbf{X}(t)\mathbf{X}(t+\tau)]=\lim_{T\to \infty} \int_0^T \mathbf{X}(t)\mathbf{X}(t+\tau)\text{d}t \)
e via dicendo.
In questo modo, si arrivano a definire delle condizioni (che non riporto qui) tali per cui le medie temporali sono uguali o meno a quelle statistiche, o, detto in termini più sintetici, si va a verificare l'ergodicità della quantità in esame. Per l'ergodicità della media hai delle condizioni, per l'ergodicità dell'autocorrelazione ne hai altre e così via.
Le medie statistiche sono quelle fatte tramite la funzione di densità di probabilità (ai vari ordini), quindi se fai medie statistiche vuol dire che conosci il processo abbastanza bene da poterlo descrivere con una funzione siffatta (che so, una gaussiana). Per questo tipo di medie non ti è necessario "osservare" il processo in oggetto, perché sai già come si distribuisce. Ad esempio, la media statistica del processo $\mathbf{X}(t)$ al tempo $t$ sarà
\(\displaystyle E[\mathbf{X}(t)]=\int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f_X(x,t)\text{d}x \)
avendo indicato con $f_X(x,t)$ la sua statistica al primo ordine al tempo $t$.
In genere però non è dato sapere quale sia la statistica del processo che si osserva, e ci si chiede pertanto se si può arrivare a calcolare quantità come $E[\mathbf{X}(t)]$, in realtà definite per via statistica come ti ho mostrato prima, ma facendo uso delle realizzazioni del processo e facendo delle medie temporali. Quindi quello che ci si chiede è:
\(\displaystyle \tilde{E}[\mathbf{X}(t)]= \lim_{T\to \infty} \int_0^T \mathbf{X}(t)\text{d}t \) (media temporale)
è uguale a
\(\displaystyle E[\mathbf{X}(t)] = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f_X(x,t)\text{d}x \) (media statistica)?
La stessa domanda puoi fartela per l'autocorrelazione, alla fine anche lei è definita come media, per cui la sua versione temporale sarà
\(\displaystyle \tilde{E}[\mathbf{X}(t)\mathbf{X}(t+\tau)]=\lim_{T\to \infty} \int_0^T \mathbf{X}(t)\mathbf{X}(t+\tau)\text{d}t \)
e via dicendo.
In questo modo, si arrivano a definire delle condizioni (che non riporto qui) tali per cui le medie temporali sono uguali o meno a quelle statistiche, o, detto in termini più sintetici, si va a verificare l'ergodicità della quantità in esame. Per l'ergodicità della media hai delle condizioni, per l'ergodicità dell'autocorrelazione ne hai altre e così via.
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