Indipendenza condizionata

[FedericoF93]

Grazie mille!!

[Lo_zio_Tom]

domanda interessante....


dunque:

$X,Y$ sono indipendenti condizionatamente a $Theta$ significa che

$P(X nn Y|Theta)=P(X|Theta)P(Y|Theta)$


in generale ciò non implica (e non è implicato) dal fatto che

$P(X nn Y)=P(X)P(Y)$

supponiamo però che, ad esempio, $Y$ sia indipendente da $Theta$, ovvero che $P(Y|Theta)=P(Y)$

allora anche $X_|_ Y$

Vediamo perché:

$P(X nn Y)=sum_(i)P(X nn Y|Theta_(i))P(Theta_(i))$ Per l'ipotesi di indipendenza condizionata di $X,Y$ da $Theta$ otteniamo:

$P(X nn Y)=sum_(i)P(X|Theta_(i))P(Y|Theta_(i))P(Theta_(i))$

ma per l'indipendenza di $Y$ da $Theta$ abbiamo che

$P(X nn Y)=sum_(i)P(X|Theta_(i))P(Y)P(Theta_(i))=$

$=P(Y)sum_(i)P(X|Theta_(i))P(Theta_(i))=P(Y)P(X)$




penso che sia così....ci ho pensato un po' su....questo è ciò che mi è venuto in mente subito....

[FedericoF93]

"tommik":Vediamo perché:

$P(X in Y|Theta)=sum_(i)P(X in Y|Theta_(i))P(Theta_(i))=$

$=sum_(i)P(X|Theta_(i))P(Y|Theta_(i))P(Theta_(i))$

ma per l'indipendenza di $Y$ da $Theta$ abbiamo che

$P(X in Y)=sum_(i)P(X|Theta_(i))P(Y)P(Theta_(i))=$

$=P(Y)sum_(i)P(X|Theta_(i))P(Theta_(i))=P(Y)P(X)$



penso che sia così....ci ho pensato un po' su....questo è ciò che mi è venuto in mente subito....

Scusa per l'ignoranza, potresti spiegarmi cosa ha a che fare in tutto questo la distribuzione non degenere( cos'è?) ??
Inoltre cosa intendi per $ P(X ∈ Y) $ ?? E' una terminologia che mi è nuova
Infine sotto quale assunzione consideriamo Y indipendente da $ Theta $ ?? Praticamente è questa la condizione che dobbiamo soddisfare??

[Lo_zio_Tom]

"FedericoF93":
Scusa per l'ignoranza, potresti spiegarmi cosa ha a che fare in tutto questo la distribuzione non degenere( cos'è?) ??
Inoltre cosa intendi per $ P(X ∈ Y) $ ?? E' una terminologia che mi è nuova
Infine sotto quale assunzione consideriamo Y indipendente da $ Theta $ ?? Praticamente è questa la condizione che dobbiamo soddisfare??

$ P(X ∈ Y) $....avevo sbagliato a digitare, ho messo "in" invece di "nn".... poi il cut&paste ha fatto il resto.... ma ho corretto subito!

la distribuzione non degenere significa semplicemente che la distribuzione è diversa da $X=x_(1)$ con $P(x_(1))=1$

"FedericoF93":
Infine sotto quale assunzione consideriamo Y indipendente da $ Theta $ ?? Praticamente è questa la condizione che dobbiamo soddisfare??

il testo chiede sotto quali condizioni $X_|_Y$

secondo me sono queste:

1) sia $Theta_(1),...,Theta_(n)$ una partizione dello spazio dei risultati

2) $X_|_Theta$ oppure $Y_|_Theta$.

allora $X_|_Y$

[FedericoF93]

"tommik":Vediamo perché:

$P(X nn Y|Theta)=sum_(i)P(X nn Y|Theta_(i))P(Theta_(i))=$

$=sum_(i)P(X|Theta_(i))P(Y|Theta_(i))P(Theta_(i))$

ma per l'indipendenza di $Y$ da $Theta$ abbiamo che

$P(X nn Y)=sum_(i)P(X|Theta_(i))P(Y)P(Theta_(i))=$

$=P(Y)sum_(i)P(X|Theta_(i))P(Theta_(i))=P(Y)P(X)$





penso che sia così....ci ho pensato un po' su....questo è ciò che mi è venuto in mente subito....

Scusami se insisto, non mi risulta chiara un'altra cosa ora che rileggo il testo.
Immagino che te hai applicato la formula di Bayes per ricavarti $ ∑iP(X∣Θi)P(Y∣Θi)P(Θi)$ .
Solo che non mi torna il perché hai anteposto una sommatoria per tutti i valori di i solo per $ Theta $ e soprattutto perché moltiplichi anche per $ P(Θi) $
Cioè a me risulta che $ P (X,Y|Θ) = P(X|Y,Θ) P(Y|Θ) = P(X|Θ)P(Y|Θ)$
Potresti spiegarmelo gentilmente?!? Scusami ma sono una fava con questa materia

[Lo_zio_Tom]

$P(X nnY )=sum_(i)P(X nnY|Theta_(i))P(Theta_(i))$

in pratica ho applicato il teorema della probabilità totale a $P(X nnY )$

(ci avevo anche infilato un errorino di stampa.... )


ora dovrebbe essere tutto a posto

[FedericoF93]

"tommik":$P(X nnY )=sum_(i)P(X nnY|Theta_(i))P(Theta_(i))$

in pratica ho applicato il teorema della probabilità totale a $P(X nnY )$

(ci avevo anche infilato un errorino di stampa.... )


ora dovrebbe essere tutto a posto

Ahhhh ok, quindi niente Bayes giusto?