Galline e uova

[mobley]

E' un altro esercizio dello stesso esame del post "Triplice condizionamento esponenziale". Leggendo la traccia ho pensato ok ci sono, ma il punto mi lascia dei dubbi.

Una gallina depone un numero aleatorio di uova $N$ con distribuzione di Poisson di parametro $\lambda$. Ogni uovo, in modo indipendente dagli altri, si schiude e genera un pulcino con probabilità $p$. Sia $X$ il numero di pulcini nati.
$1)$ Trova la distribuzione marginale di $X$.
$2)$ Calcola la covarianza e la correlazione tra $N$ (il numero di uova) e $X$ (il numero di pulcini nati).
$3)$ Esse dipendono sia da $\lambda$ che da $p$ o solamente da uno di loro? In ogni caso spiegare il perché. Esistono dei valori di $\lambda$ e $p$ che rendono le due variabili incorrelate?

$1)$ Data la congiunta $e^(-\lambda)(\lambdap)^i/(i!)(\lambdaq)^j/(j!)$ si ha $\mathbb(P)(X=i)=e^(-\lambdap)(\lambdap)^i/(i!)rArr X~ Exp(\lambdap)$.
$2)$ $cov(X,N):=E[XN]-E[X]E[N]=var[X]-cov[X,Y]=\lambdap rArr \rho(X,N):=(cov(X,N))/(\sqrt(var(X)var(N)))=\sqrt(p)$, quindi per la positività di Kolmogorov le variabili sono incorrelate solo per $p=0$.
$3)$ La covarianza dipende da $\lambda$ e da $p$, a differenza della correlazione: da cosa dipende? Come posso giustificarlo?

[Lo_zio_Tom]

"mobley":$ X~ Exp(\lambdap)$.

????

"mobley":
$2)$ $cov(X,N):=E[XN]-E[X]E[N]=var[X]-cov[X,Y]=\lambdap$

La covarianza viene davvero $lambdap$ ma non capisco come sia stata calcolata (se me lo spieghi magari imparo qualche cosa di nuovo)....cosa è $Y$??? Non compare da nessuna parte nella traccia


Dato che il topic lo devono leggere e capire tutti ecco come andrebbe risolto il problema:

Sappiamo che

$N~Po(lambda)$ e quindi

$mathbb{E}[N]=lambda$
$mathbb{E}[N^2]=lambda+lambda^2$

$(X|N=n)~B(n;p)$ e quindi

$mathbb{E}[X|N=n]=np$

Essendo

$mathbb{P}[X=x]=sum_(n=x)^(oo)(e^(-lambda)lambda^n)/(n!)((n),(x))p^x(1-p)^(n-x)=...=(e^(-lambdap)(lambdap)^x)/(x!)$;$x=0,1,2,...$

risulta che marginalmente $X~Po(lambdap)$

Non so dove tu abbia studiato ma la correlazione fra due variabili è definita (in genere) così:

(click per ingrandire)


e si può calcolare utilizzando le proprietà del valore atteso condizionato

$"CORR"(X,N)=mathbb{E}[XN]=mathbb{E}{mathbb{E}[XN|N=n]}=mathbb{E}{nmathbb{E}[X|N=n]}=$

$=mathbb{E}[n^2p]=p mathbb{E}[N^2]=p(lambda+lambda^2)$

e quindi

$Cov(X,N)=mathbb{E}[XN]-mathbb{E}[X]mathbb{E}[N]=plambda+ lambda^2p-lambda^2p=lambdap$

DEFINIZIONE: Due variabili si dicono non correlate se la loro covarianza è zero.....

Un altro indicatore per lo studio della dipendenza è il COEFFICIENTE di correlazione lineare

$rho(X,N)=(lambdap)/(sqrt(lambdap)sqrt(lambda))$ che però non è definito se

$lambda$ oppure $p$ sono zero. In altri termini se scrivi $rho=sqrt(p)$ già stai imponendo che valga $lambda>0$ e $0
ergo...l'unica possibilità affinché le due variabili siano non correlate è davvero $p=0$ (porre $lambda=0$ fa perdere di senso tutto l'esperimento) ma perché in questo caso il numero di uova è una poisson di parametro $lambda>0$ ma le uova che si schiuderanno è una variabile degenere in $X=0$.
Detto in modo diverso, $mathbb{P}[X=0]=1$ cioè per qualunque numero di uova deposte i pulcini nati saranno sempre zero (si tratta di uova non fecondate)

[ghira1]

Chiaramente la risposta di tommik va benissimo ma per la cronaca ho fatto la prima parte con le funzioni generatrici e forse è più breve così ma magari le funzioni generatrici non sono ancora state fatte nel corso che sta facendo mobley.

La f.g. della Poisson (per il numero di uova) è \(G_p=e^{-\lambda(1-s)}\). Quella della Bernoulli, (per i pulcini da un singolo uovo), \(G_o=(1-p)+ps\).

La f.g. per il numero di uova è \(G_p(G_o(s))=e^{-\lambda(1-(1-p+ps))}=e^{-\lambda p(1-s)}\), la funzione generatrice di una Poisson con parametro \(\lambda p\).

[mobley]

"tommik":Dato che il topic lo devono leggere tutti[…]

Non ho messo tutti i calcoli fatto perché come hai visto posto 4-5 esercizi al giorno, e tra l'andare avanti con la teoria e fare esercizi il tempo non è molto. Ma è giusto, e senza dubbio utile anche per me, inserire tutto. Allora…

"tommik":????

Per $N={$uova deposte dalla gallina$}$, ho definito $X={$pulcini nati$}$ e $Y={$pulcini non nati$}$, quindi:

$\mathbb(P)(X=i,Y=j)=\mathbb(P)(N=i+j)\mathbb(P)(X=i|N=i+j)=(e^(-\lambda)\lambda^(i+j))/((i+j)!)xx( (i+j), (i) )p^i(1-p)^j$

$rArr\mathbb(P)(X=i,Y=j)=e^(-\lambda)((\lambdap)^i)/(i!)((\lambdaq)^j)/(j!)$

e quindi:

$\mathbb(P)(X=i)=\sum_(j>0)e^(-\lambda)((\lambdap)^i)/(i!)((\lambdaq)^j)/(j!)=e^(-\lambda)((\lambdap)^i)/(i!)rArr X~ Po(\lambdap)$

"tommik":La covarianza viene davvero $lambdap$ ma non capisco come sia stata calcolata (se me lo spieghi magari imparo qualche cosa di nuovo)....cosa è $Y$??? Non compare da nessuna parte nella traccia

Devo calcolare la covarianza tra $N={$numero di uova deposte$}$ e $X={$numero di pulcini nati$}$, quindi:

$cov(X,N):=\mathbb(E)[XN]-\mathbb(E)[X]\mathbb[N]=\mathbb(E)[X(X+Y)]-\mathbb(E)[X]\mathbb(E)[X+Y]=\mathbb(E)[X^2+XY]-\mathbb(E)[X](\mathbb(E)[X]+\mathbb(E)[Y])=\mathbb(E)[X^2]-\mathbb(E)[X]^2+\mathbb(E)[XY]-\mathbb(E)[X]\mathbb(E)[Y]=Var[X]+cov(X,Y)=\lambdap$

essendo la covarianza nulla perché $X_|_Y$.

"tommik":Non so dove tu abbia studiato ma la correlazione fra due variabili è definita[…]:

Per la correlazione ho solamente applicato la definizione qui descritta:

https://it.wikipedia.org/wiki/Covarianza_(probabilità)

$\rho(X,N):=(cov(X,N))/(\sqrt(var[X]var[N])=(\lambdap)/(\sqrt(\lambdap\cdot\lambda)))=p/(\sqrt(p))=\sqrt(p)$

Naturalmente, data la marginale di $X$, sia $\lambda$ che $p$ sono positivi.