Funzioni misurabili e partizioni
Vorrei dimostrare questo fatto:
Sia $\mathcal{E}$ la $\sigma$-algebra su $E$ generata da una partizione numerabile $(A_n)$ di sottoinsiemi non trascurabili di $E$. Allora
una funzione $Y:E\to\mathbb{R}$ è $\mathcal{E}$-misurabile $\ \Leftrightarrow\ $ $Y\ $ è costante sugli $A_n$.
Penso di essere riuscito a dimostrare solo una parte:
$\Leftarrow\ $ $Y$ costante sugli $A_n$ $\ \Rightarrow\ $ $Y(A_n)=\{t_n\}$ $\forall\ n$ $\ Rightarrow\ $ $Y^{-1}(t_n)=A_n\in\mathcal{E}$ $\ \forall n$, quindi $Y$ è $\mathcal{E}$-misurabile.
$\Rightarrow\ $ So che per ogni $A\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ risulta $Y^{-1}(A)\in\mathcal{E}$. Forse mi dovrei concentrare sui singoli $y\in\mathbb{R}$...
Sia $\mathcal{E}$ la $\sigma$-algebra su $E$ generata da una partizione numerabile $(A_n)$ di sottoinsiemi non trascurabili di $E$. Allora
una funzione $Y:E\to\mathbb{R}$ è $\mathcal{E}$-misurabile $\ \Leftrightarrow\ $ $Y\ $ è costante sugli $A_n$.
Penso di essere riuscito a dimostrare solo una parte:
$\Leftarrow\ $ $Y$ costante sugli $A_n$ $\ \Rightarrow\ $ $Y(A_n)=\{t_n\}$ $\forall\ n$ $\ Rightarrow\ $ $Y^{-1}(t_n)=A_n\in\mathcal{E}$ $\ \forall n$, quindi $Y$ è $\mathcal{E}$-misurabile.
$\Rightarrow\ $ So che per ogni $A\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ risulta $Y^{-1}(A)\in\mathcal{E}$. Forse mi dovrei concentrare sui singoli $y\in\mathbb{R}$...
Risposte
Cosa cambia, nella struttura della tua sigma algebra, se al posto di una partizione numerabile ne consideri una finita?
Mi viene di rispondere che non cambia niente... Penso che quello che conta veramente sia "partizione", giusto?
Cioè, se l'insieme dei generatori è una partizione (numerabile o finita che sia), la $\sigma$-algebra generata sarà comunque formata da unioni finite e unioni numerabili di elementi dell'insieme di generatori...
Cioè, se l'insieme dei generatori è una partizione (numerabile o finita che sia), la $\sigma$-algebra generata sarà comunque formata da unioni finite e unioni numerabili di elementi dell'insieme di generatori...
si in verità non so se la mia domanda è pertinente con l'esercizio (ieri sera forse mi immaginavo un'aiuto diverso).
Comunque ragionerei per assurdo, usando il fatto che $A_i\cap A_j=\emptyset$ per ogni $i\neq j$ e se le variabili assumono valori diversi sulle partizioni, allora è possibile riuscire a spezzare gli insiemi $A_n$ che formano la partizione (essendo tutti di misura non nulla), arrivando ad un'assurdo (in quanto se $A\subset A_n$ per qualche $A_n$, allora esso non è misurabile, ovvero i tuoi $A_n$ sono la più piccola unità misurabile con misura positiva, concordi?).
Cioè se $Y_n:=Y|_{A_n}$ assume due valori diversi, siano questi $x_1,x_2$, allora cosa puoi dire di $Y_n^{-1}(x_1)$ e $Y_n^{-1}(x_2)$? Una cosa del genere insomma...
Comunque ragionerei per assurdo, usando il fatto che $A_i\cap A_j=\emptyset$ per ogni $i\neq j$ e se le variabili assumono valori diversi sulle partizioni, allora è possibile riuscire a spezzare gli insiemi $A_n$ che formano la partizione (essendo tutti di misura non nulla), arrivando ad un'assurdo (in quanto se $A\subset A_n$ per qualche $A_n$, allora esso non è misurabile, ovvero i tuoi $A_n$ sono la più piccola unità misurabile con misura positiva, concordi?).
Cioè se $Y_n:=Y|_{A_n}$ assume due valori diversi, siano questi $x_1,x_2$, allora cosa puoi dire di $Y_n^{-1}(x_1)$ e $Y_n^{-1}(x_2)$? Una cosa del genere insomma...
"fu^2":
Comunque ragionerei per assurdo, usando il fatto che $A_i\cap A_j=\emptyset$ per ogni $i\neq j$ e se le variabili assumono valori diversi sulle partizioni, allora è possibile riuscire a spezzare gli insiemi $A_n$ che formano la partizione (essendo tutti di misura non nulla), arrivando ad un'assurdo (in quanto se $A\subset A_n$ per qualche $A_n$, allora esso non è misurabile, ovvero i tuoi $A_n$ sono la più piccola unità misurabile con misura positiva, concordi?).
Sì, concordo, sarebbero quelli che si chiamano anche atomi, giusto?
"fu^2":
Cioè se $Y_n:=Y|_{A_n}$ assume due valori diversi, siano questi $x_1,x_2$, allora cosa puoi dire di $Y_n^{-1}(x_1)$ e $Y_n^{-1}(x_2)$?
Penso di avere risolto anch'io, ma usando un solo evento, cioè un solo $Y_n^{-1}(x_1)$, comunque vediamo prima dove si arriva con due:
$Y^{-1}(x_1)$ e $Y^{-1}(x_2)$ sono elementi di $\mathcal{E}$ (perché $\{x_i\}$ è un boreliano di $\mathbb{R}$) e sono disgiunti. Inoltre, per quello che hai detto tu sugli atomi, entrambi devono contenere $A_n$, il ché mi pare abbastanza assurdo da poter dichiarare conclusa la dimostrazione
Va bene?
come hai fatto a dimostrare con un solo evento? Sara' che sono cotto in questo momento, ma sono curioso 
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ps se invece di avere una partizione hai una partizione quasi certa come devi cambiare l'enunciato?
Ovvero se al posto di considerare gli eventi $A_n$ tutti di misura positiva che formano una partizione di $Omega$, consideri degli eventi $C_n$ tali che $\mathbb{P}(\cup_n C_n)=1=\mathbb{P}(\Omega)$ e consideri la sigma algebra $\sigma(C_n, n\in\mathbb{N})$ allora vale ancora una caratterizzazione analoga a quella che hai dato te nel teorema?
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ps se invece di avere una partizione hai una partizione quasi certa come devi cambiare l'enunciato?
Ovvero se al posto di considerare gli eventi $A_n$ tutti di misura positiva che formano una partizione di $Omega$, consideri degli eventi $C_n$ tali che $\mathbb{P}(\cup_n C_n)=1=\mathbb{P}(\Omega)$ e consideri la sigma algebra $\sigma(C_n, n\in\mathbb{N})$ allora vale ancora una caratterizzazione analoga a quella che hai dato te nel teorema?
Considero $\omega_1$, $\omega_2\in A_k$ tale che \(\cancel{Y(\omega_1)=t=Y(\omega_2)}\) $Y(\omega_1)=t\ne Y(\omega_2)$ (grazie a fu^2 per la segnalazione dell'errore). Come prima, $Y^{-1}(t)\in\mathcal{E}$, e inoltre risulta $\omega_1\in Y^{-1}(t)$ e $\omega_2\notin Y^{-1}(t)$. Ma per definizione di $\mathcal{E}$ deve essere $A_k\subseteq Y^{-1}(t)$, assurdo perché non contiene $\omega_2$.
Per quanto riguarda la tua domanda... Ci devo pensare Così di getto non vedo una possibile estensione, anche perché avere un sistema di generatori numerabile, senza altre ipotesi, non mi dice molto...
Per quanto riguarda la tua domanda... Ci devo pensare
Così di getto non vedo una possibile estensione, anche perché avere un sistema di generatori numerabile, senza altre ipotesi, non mi dice molto...
no aspetta, se $Y(\omega_1)=Y(\omega_2)=t$ allora, per definizione, $Y^{-1}(t)=\{\omega\in \Omega : Y(\omega)=t\}$ e quindi perchè dici che $\omega_1\in Y^{-1}(t)$ mentre $\omega_2\notin Y^{-1}(t)$? Non ho capito...
Quello che puoi dire è che, dal momento che $Y^{-1}(t)$ deve essere misurabile, non può essere strettamente contenuto in $A_k$ e quindi deve valere che $A_k\subset Y^{-1}(t)$ ovvero $Y$ è costante su $A_k$.
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per la domanda: non è un sistema casuale di generatori, è comunque una partizione, in un senso meno forte (in pratica hai partizionato $\Omega$ a meno di insiemi di misura nulla, il problema è capire fino a che punto rompono questi insiemi di misura nulla nella struttura delle v.a.)
Quello che puoi dire è che, dal momento che $Y^{-1}(t)$ deve essere misurabile, non può essere strettamente contenuto in $A_k$ e quindi deve valere che $A_k\subset Y^{-1}(t)$ ovvero $Y$ è costante su $A_k$.
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per la domanda: non è un sistema casuale di generatori, è comunque una partizione, in un senso meno forte (in pratica hai partizionato $\Omega$ a meno di insiemi di misura nulla, il problema è capire fino a che punto rompono questi insiemi di misura nulla nella struttura delle v.a.)
Scusami, ho sbagliato a scrivere: ovviamente devo supporre $Y(\omega_1)=t\ne Y(\omega_2)$ per poi arrivare all'assurdo. Correggo anche il precedente messaggio. Grazie!
"fu^2":
per la domanda: non è un sistema casuale di generatori, è comunque una partizione, in un senso meno forte (in pratica hai partizionato $\Omega$ a meno di insiemi di misura nulla, il problema è capire fino a che punto rompono questi insiemi di misura nulla nella struttura delle v.a.)
Ah, se è comunque una partizione, allora il discorso penso che cambi... In questo momento non vedo ragioni per cui la variabile aleatoria non dovrebbe essere costante, almeno sugli $A_n$ non trascurabili... Che ne dici?
E sugli altri... Chi se ne frega
e' quasi una partizione... diciamo che $\Omega - \cup_n C_n$ e' un insieme di misura nulla e gli insiemi $C_n$ sono disgiunti a meno di misura nulla.
Domanda: e' vero che le funzioni misurabili rispetto alla sigma-algebra generata da questi insiemi sono solamente le funzioni che sono quasi ovunque costanti sui $C_n$ ?
Se e' vero qui c'e' scritto che alla fin fine gli insiemi di misura nulla non rompono piu' di tanto, in questo caso.
____________-
Per esempio prendi $\Omega=[0,1]$ con la misura di Lebesgue e come partizione $C_1=[0,1/2]-\mathbb{Q}$, $C_2=[1/2, 3/4]-\mathbb{Q}$, $C_3=[3/4, 7/8]-\mathbb{Q}$,... e cosi' via.
Domanda: e' vero che le funzioni misurabili rispetto alla sigma-algebra generata da questi insiemi sono solamente le funzioni che sono quasi ovunque costanti sui $C_n$ ?
Se e' vero qui c'e' scritto che alla fin fine gli insiemi di misura nulla non rompono piu' di tanto, in questo caso.
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Per esempio prendi $\Omega=[0,1]$ con la misura di Lebesgue e come partizione $C_1=[0,1/2]-\mathbb{Q}$, $C_2=[1/2, 3/4]-\mathbb{Q}$, $C_3=[3/4, 7/8]-\mathbb{Q}$,... e cosi' via.
"fu^2":
Domanda: e' vero che le funzioni misurabili rispetto alla sigma-algebra generata da questi insiemi sono solamente le funzioni che sono quasi ovunque costanti sui $C_n$ ?
Se e' vero qui c'e' scritto che alla fin fine gli insiemi di misura nulla non rompono piu' di tanto, in questo caso.
Tendo a essere d'accordo con te... Il mio "chi se ne frega" era un modo colorito di affermare questo
"fu^2":
Per esempio prendi $\Omega=[0,1]$ con la misura di Lebesgue e come partizione $C_1=[0,1/2]-\mathbb{Q}$, $C_2=[1/2, 3/4]-\mathbb{Q}$, $C_3=[3/4, 7/8]-\mathbb{Q}$,... e cosi' via.
Eh, se prendo invece $\Omega=[0,1]-\mathbb{Q}$ con la stessa partizione (che in questo caso è proprio una partizione, giusto?), cosa cambia?
In questo caso nulla, pero' a priori potresti togliere da ogni insieme $C_n$ qualcosa di numerabile ma non sempre tutti i razionali., in uqesto caso e' meno chiaro qual'e' l'insieme di misura nulla...
Ma il gioco non cambia.
Ma il gioco non cambia.
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