Funzioni misurabili

[philipcool]

Sto studiando le funzioni misurabili, ho compreso la definizione senza problemi (che non sto qui a riportare) ma ho una certa difficoltà a visualizzare l’importanza del concetto e il fatto che una variabile aleatoria sia necessariamente una funzione misurabile. Qualcuno saprebbe spiegarmelo in maniera intuitiva? Magari facendo un esempio di funzione misurabile (definendo dominio sigma algebra di interesse e codominio) e analogamente un esempio di funzione non misurabile?

[fu^2]

il fatto che una v.a. sia misurabile è fondamentale in tutta la teoria.

Infatti il gioco è questo: tu hai il tuo spazio $(\Omega, \Sigma, P)$. $\Sigma$ ti dice quali eventi puoi vedere, quali sono gli oggetti che nei tuoi esperimenti puoi verificare.

A questo punto nasce spontaneo l'oggetto che fa l'esperimento, che è la v.a. e collegato ad esso l'oggetto $\sigma(X)$ che è la più piccola sigma-algebra che rende la tua v.a. misurabile, questa sarà una contenuta in $\Sigma$ e ti dice appunto quali cosa puoi vedere e quali no.

Ad esempio se tu hai due dadi e la v.a. è la somma dei risultati (tradotto te hai $Z=X+Y$ con $X,Y$ iid, con legge uniforme su $\{1,...,6\}$) allora la v.a. può descriverti l'evento "la somma è maggiore di 5" (in quanto, se ci fai caso è un evento in $\sigma(Z)$, ma non può descrivere l'evento "il primo dafo ha dato un numero pari".

[philipcool]

Nell’esempio che hai fatto della somma del risultato dei due dadi riusciresti a definire Ω (dominio) Ω’ (codominio) e Σ e Σ’ sigma algebre di interesse del dominio e del codominio? Cosi da mettere in evidenza che per ogni σ’ elemento di Σ’ $f^(-1)(σ’)$ è elemento di Σ che è la definizione di funzione misurabile? Grazie per la pazienza

[philipcool]

dove non si legge intendevo $f^(-1)(σ’)$

[philipcool]

dove non si legge intendevo f alla meno uno di σ’

[philipcool]

Forse un’idea ce l’ho: nell’esperimento del lancio dei due dadi la v.a aleatoria Z:“somma dei due risultati” dovrebbe avere un insieme di definizione Ω=[ω:(1,1);(1,2)…;(2,1) ;(2,2) …. ;(6,6)] cioè tutte le coppie di risultati possibili. L’insieme immagine Ω’=[ ω‘ 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12] cioè tutte le somme possibili. La variabile aleatoria Z:“somma dei due risultati” è una f: Ω-> Ω’ fatta in modo tale che associa ad ogni elemento di Ω un lemeneto di Ω’ ad esempio (1,1)->2 oppure (2,2)->4. Ora se io calcolo la controimmagine di 4 ottengo gli elementi (1,3);(2,2);(3,1) che fan parte di Ω. In tutto questo ragionamento non mi è chiaro dove interviene la sigma algebra di interesse su Ω essa per esempio non potrebbe essere l’intero insieme della parti di Ω? Però se cosi fosse mi viene da dire che qualsiasi applicazione è misurabile. Lo so…ho le idee un po confuse

[Deckard1]

Certo, se si considera come sigma l'intero insieme delle parti di omega siamo a posto. Però è una condizione alquanto restrittiva considerare l'intero insieme delle parti: pensa ad una variabile aleatoria che ha come insieme degli esiti $ RR $ (o un qualunque altro insieme non numerabile); è proprio necessario considerare sigma come l'intero insieme delle parti? Ovviamente no, basta che l'insieme degli eventi abbia determinate caratteristiche: ci deve dare la possibilità di prendere il complemento di un evento, l'unione e l'intersezione numerabile, ecc.
Tutto ciò è possibile solamente se sigma è una σ-algebra, altrimenti non possiamo definire una misura di probabilità così come la teoria di Kolmogorov ci richiede.
Perché è necessario che una v.a. X sia una funzione misurabile? Beh, se non fosse tale esisterebbe un numero reale c t.c. l'insieme $$ {ω: ω in Ω , X(ω) <= c }$$ non è misurabile. Di conseguenza non potremmo calcolare la probabilità $$P(X<=c) = P({ω: ω in Ω , X(ω) <= c }) $$ e quindi addio funzione di ripartizione di X. Bel casino.