Funzioni di numero aleatorio
Buongiorno, ho difficoltà con quest'esercizio: trovare la densità di probabilità di $Y=varphi(X)=|X|$, sapendo che $f(x)={(k,if 1<=|x|<=3),(0,if text{altrimenti}):}$.
In generale, se non erro, chiamando $F$ la funzione di ripartizione relativa a $X$, e $G$ quella relativa a $Y$, vale: $G(y)={(F(varphi^(-1)(y)), if varphi text{cresce}), (1-F(varphi^(-1)(y)), if varphi text{decresce}):}$.
In questo caso, $X={(Y, if (0,+infty)), (-Y, if (-infty,0)):}$.
Da cui io otterrei $f(y)={(k, if 1<=|y|<=3), (0, if text{altrimenti}):}$.
Invece la soluzione indicata è $f(y)={(1/2, if 1<=y<=3), (0, if text{altrimenti}):}$.
Su $1/2$, forse intendeva $k$: in realtà, $k$ l'ho posto io, visto che $f(x)$ non era assegnata, ma l'ho dedotta da un grafico semplicissimo, in cui però non c'era alcun riferimento a $1/2$ (i 2 segmentini che appaiono disegnando $f(x)$ avevano un'ordinata imprecisata). Il fatto è che, anche usando $k$ al posto di $1/2$, la mia soluzione è comunque un poco diversa.
Grazie.
PS: Allego $f(x)$.
In generale, se non erro, chiamando $F$ la funzione di ripartizione relativa a $X$, e $G$ quella relativa a $Y$, vale: $G(y)={(F(varphi^(-1)(y)), if varphi text{cresce}), (1-F(varphi^(-1)(y)), if varphi text{decresce}):}$.
In questo caso, $X={(Y, if (0,+infty)), (-Y, if (-infty,0)):}$.
Da cui io otterrei $f(y)={(k, if 1<=|y|<=3), (0, if text{altrimenti}):}$.
Invece la soluzione indicata è $f(y)={(1/2, if 1<=y<=3), (0, if text{altrimenti}):}$.
Su $1/2$, forse intendeva $k$: in realtà, $k$ l'ho posto io, visto che $f(x)$ non era assegnata, ma l'ho dedotta da un grafico semplicissimo, in cui però non c'era alcun riferimento a $1/2$ (i 2 segmentini che appaiono disegnando $f(x)$ avevano un'ordinata imprecisata). Il fatto è che, anche usando $k$ al posto di $1/2$, la mia soluzione è comunque un poco diversa.
Grazie.
PS: Allego $f(x)$.
Risposte
Grazie per la risposta.
$text(il supporto di ) X text( e' ) [-3,-1] uu [1,3],Y=varphi(X)=|X| rarr text(il supporto di ) Y text( e' ) [1,3],X=varphi^(-1)(Y)=Y$
Intuitivamente ho capito quello che mi hai detto. In questo caso però era semplice. E se devo graficare densità di probabilità di numeri aleatori più complicati? Vedo ad occhio in un esercizio successivo, ad esempio: $Y=1-|X|/2$. Magari in questi casi non è sufficiente un'analisi qualitativa, ma è necessario usare qualche formula. Allora ricordo quanto avevo studiato sul libro (Scozzafava, Zanichelli):
Diciamo che il caso "$varphi$ cresce" c'era scritto sul libro e l'altro l'ho "dedotto" io (si spera meglio di $k$). In questo caso allora $G(y)=F(y) rarr g(y)=G'(y)=d/(dy)F(y)=f(y)*1=f(y)=1/4$, che non è $1/2$. In un esercizio analogo:
$text(il supporto di ) X text( e' ) [2,5],Y=varphi(X)=X-1 rarr text(il supporto di ) Y text( e' ) [1,4],X=varphi^(-1)(Y)=Y+1$
$G(y)=F(y+1) rarr g(y)=G'(y)=d/(dy)F(y+1)=f(y+1)*1=f(y+1)$
Poiché era $f(x)=2/9(x-2)$, ho ottenuto correttamente $g(y)=2/9(y-1)$.
Non so se sono riuscito a spiegare il problema... Grazie.
$text(il supporto di ) X text( e' ) [-3,-1] uu [1,3],Y=varphi(X)=|X| rarr text(il supporto di ) Y text( e' ) [1,3],X=varphi^(-1)(Y)=Y$
Intuitivamente ho capito quello che mi hai detto. In questo caso però era semplice. E se devo graficare densità di probabilità di numeri aleatori più complicati? Vedo ad occhio in un esercizio successivo, ad esempio: $Y=1-|X|/2$. Magari in questi casi non è sufficiente un'analisi qualitativa, ma è necessario usare qualche formula. Allora ricordo quanto avevo studiato sul libro (Scozzafava, Zanichelli):
"Bubbino1993":
chiamando $ F $ la funzione di ripartizione relativa a $ X $, e $ G $ quella relativa a $ Y $, vale:
$ G(y)={(F(varphi^(-1)(y)), if varphi text{ cresce}), (1-F(varphi^(-1)(y)), if varphi text{ decresce}):} $
Diciamo che il caso "$varphi$ cresce" c'era scritto sul libro e l'altro l'ho "dedotto" io (si spera meglio di $k$). In questo caso allora $G(y)=F(y) rarr g(y)=G'(y)=d/(dy)F(y)=f(y)*1=f(y)=1/4$, che non è $1/2$. In un esercizio analogo:
$text(il supporto di ) X text( e' ) [2,5],Y=varphi(X)=X-1 rarr text(il supporto di ) Y text( e' ) [1,4],X=varphi^(-1)(Y)=Y+1$
$G(y)=F(y+1) rarr g(y)=G'(y)=d/(dy)F(y+1)=f(y+1)*1=f(y+1)$
Poiché era $f(x)=2/9(x-2)$, ho ottenuto correttamente $g(y)=2/9(y-1)$.
Non so se sono riuscito a spiegare il problema... Grazie.
OK. Un'ultima cosa. Con una lieve modifica al problema iniziale, considero ad esempio $f(x)={(1/6,if -5<=x<=-1 uu 1<=x<=3),(0,if text{altrimenti}):}$. Il supporto di $Y=|X|$ è $[1,5] uu [1,3]=[1,5]$. La funzione modulo non è strettamente monotona su tutto l'asse reale, ma lo è se considero separatamente semiasse reale negativo e positivo, senza l'origine. Per $X<0$, ho $G(y)=1-F(-y) rarr g(y)=G'(y)=-d/(dy)F(-y)=-f(-y)*(-1)=f(-y)=1/6$. Per $X>0$, ho in un modo simile $g(y)=1/6$. Dunque $g(y)={(1/6+1/6=1/3,if 1<=x<=5),(0,if text{altrimenti}):}$? O invece conta la differente ampiezza degli intervalli? Grazie ancora. 
No, sarebbe dovuto essere $1/4$. Quindi diciamo che quando la densità di probabilità è costante, non serve a niente usare il th. di cui sopra, ma basta porre l'area unitaria. In questo caso, seguendo il tuo consiglio mi sono trovato subito il supporto del nuovo numero aleatorio ($[1,5]$). Dopodiché, essendo $f(x)$ costante (indipendente da $x$), pongo direttamente $(5-1)*k=1 rarr k=1/4$. Dico bene? Grazie.
OK, ora è tutto molto più chiaro, grazie. Non era richiesto in nessun esercizio, ma volevo capire come funzionava in altri casi.
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