Funzione indicatrice e densità

[WhiteSte]

questo esercizio è banale, ma ho qualche dubbio sulla funzione indicatrice dentro una densità.

sia $f(x, y) = Cx1_({0,Cx^2})(y) 1_({0,1})(x)$, allora se $C = 4$, $ f(x, y)$ è una densità di probabilità. vero o falso?

La mia risoluzione
$1_({0,Cx^2}(y)$ quindi $0<=y<=cx^2$
$1_({0,1})(x)$ quindi $ 0<=x<=1$

verifico che sia densità, $int_0^1int_0^(4x^2) 4x dydx = 1$
io ho semplicemente rimosso le funzioni indicatrici perchè all'interno dell'integrale valgono 1 (sto valutando i due integrali nel loro intervallo di definizione), posso farlo?

adesso risolvo tranquillamente trovo che $int_0^1 4x*y ]_0^(4x^2)dx = 16int_0^1x^3dx = 4 x^4]_0^1= 4 !=1$ quindi falso

[Lo_zio_Tom]

"WhiteSte": io ho semplicemente rimosso le funzioni indicatrici perchè all'interno dell'integrale valgono 1 (sto valutando i due integrali nel loro intervallo di definizione), posso farlo?

assolutamente Sì!!
Le funzioni indicatrici servono solo per compattare la scrittura. Se non ti piacciono le puoi tranquillamente rimuovere....l'unica difficoltà è che senza usarle la notazione diventa più "corposa"

$f(x,y)={{: ( 4x , ;(x,y) in mathcal(D) ),( 0 , ;" altrove" ) :}$

dove

$ mathcal(D)={(x,y) in RR^2|0<=x<=1,0<=y<=4x^2}$

tutto qui

[WhiteSte]

ah ok, mi sembrava troppo semplice