Funzione generatrice di momenti

[Bartolomeo2]

Data la funzione densità di probabilità $f(x) = Kxe^(-2x)$ con $x>0$ e K costante, determinare la funzione generatrice di momenti $M_x(t)$, la media e la varianza....

Ho un dubbio solo sulla funzione generatrice di momenti;


Intanto mi trovo K
$K : K * int_0^(+oo) xe^(-2x)dx = 1$

facendo i calcoli $K= 4$.....

Per trovare la funzione generatrice di momenti faccio come segue:
$M_x(t) = int_(-oo)^(+oo)e^(tx)f_X(x)dt = int_(-oo)^(+oo)4e^(tx)*xe^(-2x)dt = 4xe^(-2x)*int_(-oo)^(+oo)e^(tx)dt = 4e^((t-2)x)$

corretto?

grazie

[_luca.barletta]

K è corretta,
ma $M_x(t)=int_0^(+infty) e^(tx)f_X(x) dx$

[Bartolomeo2]

"luca.barletta":K è corretta,
ma $M_x(t)=int_0^(+infty) e^(tx)f_X(x) dx$

quindi la funzione generatrice di momenti deve essere calcolata nello stesso intervallo della funzione... giusto?

[_luca.barletta]

giusto

[Bartolomeo2]

grazie mille

[Bartolomeo2]

beh devo aver fatto qualche errore

$M_x(t) = int_0^(+oo)4e^(tx)*xe^(-2x)dt = $

$= 4xe^(-2x) *int_0^(+oo)e^(tx)dt=$

$= 4xe^(-2x)*[1/xe^(tx)]_0^(+oo) = $

non riesco a continuarew... mi sa che c'è qualcosa che non va...

[_luca.barletta]

dx, non dt

[Bartolomeo2]

ma la funzione non è $M_x(t)$ ???? non è calcolata in funione di t?

[_luca.barletta]

appunto, M è una funzione di t, quindi l'integrazione va fatta rispetto a x

[Bartolomeo2]

boh... ma se è rispetto a t la funzione generatrice di momenti, x non viene considerata costante?

[_luca.barletta]

in parole povere la M dipende da t, per far sparire la dipendenza da x bisogna integrare rispetto a x

[Bartolomeo2]

ah ok....

ho integrato per x e mi viene
$4[1/(t-2)xe^(x(t-2))-1/((t-2)^2)e^(x(t-2))]_0^(+oo)$

Lo devo porre io come condizione $t<2$ oppure ho sbagliato ancora una volta qualcosa?

[_luca.barletta]

sì, devi imporre la condizione

[Bartolomeo2]

perfetto grazie...

[Bartolomeo2]

devo calcolare la media della funzione ora...

quello che faccio è integrare la funzione tra 0 e $+oo$ e il risultato mi viene 1... ma non mi convince...

[Bartolomeo2]

ho provato anche ad utilizzare la formula

$int_0^(+oo)x * f(x) dx$

Ma il risultato è sempre 1.... è possibile una cosa edl genere?

[_luca.barletta]

è giusto, perchè la media non potrebbe essere 1?

[Bartolomeo2]

boh... non saprei... però sia che faccio l'integrale di $f(x)$ sia che faccia l'integrale di $x* f(x)$ com è possibile?

[_luca.barletta]

è un caso

[Bartolomeo2]

ah ok... ma la formula esatta allora qual è?

$int_0^(+oo) f(x)dx$

oppure

$int_0^(+oo) x*f(x)dx$


???

[_luca.barletta]

Per la media la seconda, la prima serve per verificare che f(x) è una densità di probabilità