Funzione generatrice di momenti
Data la funzione densità di probabilità $f(x) = Kxe^(-2x)$ con $x>0$ e K costante, determinare la funzione generatrice di momenti $M_x(t)$, la media e la varianza....
Ho un dubbio solo sulla funzione generatrice di momenti;
Intanto mi trovo K
$K : K * int_0^(+oo) xe^(-2x)dx = 1$
facendo i calcoli $K= 4$.....
Per trovare la funzione generatrice di momenti faccio come segue:
$M_x(t) = int_(-oo)^(+oo)e^(tx)f_X(x)dt = int_(-oo)^(+oo)4e^(tx)*xe^(-2x)dt = 4xe^(-2x)*int_(-oo)^(+oo)e^(tx)dt = 4e^((t-2)x)$
corretto?
grazie
Ho un dubbio solo sulla funzione generatrice di momenti;
Intanto mi trovo K
$K : K * int_0^(+oo) xe^(-2x)dx = 1$
facendo i calcoli $K= 4$.....
Per trovare la funzione generatrice di momenti faccio come segue:
$M_x(t) = int_(-oo)^(+oo)e^(tx)f_X(x)dt = int_(-oo)^(+oo)4e^(tx)*xe^(-2x)dt = 4xe^(-2x)*int_(-oo)^(+oo)e^(tx)dt = 4e^((t-2)x)$
corretto?
grazie
Risposte
perfetto grazie
mi pare di aver capito leggendo, che dalla funzione generatrice di momenti si possa ricavare la media e la varianza???
Ma come?
Ma come?
Ho il forte sospetto che Bartolomeo non abbia un libro di probabilità... La vedo dura passare cosi' un esame.
Guarda qui:
http://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_g ... ei_momenti
Guarda qui:
http://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_g ... ei_momenti
ma anche su wikipedia c'è scritto che si può trovare la media però non c'è scritto come....
P.S.:
no... il libro ce l'ho.... ma è uno schifo... boh il nome è "probabilità - statistica - ricerca operativa" e non ha neanche un indice in ordine alfabetico per ricercare gli argomenti... è un casino...
P.S.:
no... il libro ce l'ho.... ma è uno schifo... boh il nome è "probabilità - statistica - ricerca operativa" e non ha neanche un indice in ordine alfabetico per ricercare gli argomenti... è un casino...
Ok... grazie...
Avendo questa $M_x(t) = 2/(t^2)e^(2t)-2/(t^3)e^(2t)+2/(t^2)+2/(t^3)$ e derivandola... poi dovrei porre $t = 0$.. ma t è al denominatore.. quindi come faccio??? calcolo un limite per t che tende a 0???
Avendo questa $M_x(t) = 2/(t^2)e^(2t)-2/(t^3)e^(2t)+2/(t^2)+2/(t^3)$ e derivandola... poi dovrei porre $t = 0$.. ma t è al denominatore.. quindi come faccio??? calcolo un limite per t che tende a 0???
Scrivo tutto l'esercizio....
Calcolare la funzione generatrice di momenti $M_x(t)$ per la variabile $x$ i cui valori sono compresi nell'intervallo $0-2$ e la cui densità di probabilità vale $f(x) = A x (2-x)$. Utiliazzando la $M_x(t)$ determinare media e varianza.
Ecco come ho svolto:
- Trovo A
$A: A*int_0^2 x(2-x)dx = 1$
$A*[x^2*1/3x^3]_0^2 = 1
$4/3A = 1$ da cui $A = 3/4$ quindi $f(x) = 3/4x(2-x)$
- Calcolo la $M_x(t)$
$3/4int_0^2 x(2-x)e^(tx)dx = $
$3/4[2(1/txe^(tx)-1/t^2e^(tx))-(1/tx^2e^(tx) - 2/t^2xe^(tx) + 2/t^3 e^(tx))]_0^2 = $
$2/t^2e^(2t)-2/t^3e^(2t)+2/(t^2)+2/(t^3)$
Ora per calcolare la media dovrei derivare $M_x(t)$ e porre $t = 0$
Quindi
- derivo $M_x(t)$
$M'_x(t) =
4t)/t^4e^(2t) +4/t^2e^(2t)] - [ -(6t^2)/t^6e^(2t) + 4/t^3e^(2t)] - 4/t^3 - (6t^3)/t^6$
Ora dovrei porre t = 0... ma non posso.... che faccio??
Calcolare la funzione generatrice di momenti $M_x(t)$ per la variabile $x$ i cui valori sono compresi nell'intervallo $0-2$ e la cui densità di probabilità vale $f(x) = A x (2-x)$. Utiliazzando la $M_x(t)$ determinare media e varianza.
Ecco come ho svolto:
- Trovo A
$A: A*int_0^2 x(2-x)dx = 1$
$A*[x^2*1/3x^3]_0^2 = 1
$4/3A = 1$ da cui $A = 3/4$ quindi $f(x) = 3/4x(2-x)$
- Calcolo la $M_x(t)$
$3/4int_0^2 x(2-x)e^(tx)dx = $
$3/4[2(1/txe^(tx)-1/t^2e^(tx))-(1/tx^2e^(tx) - 2/t^2xe^(tx) + 2/t^3 e^(tx))]_0^2 = $
$2/t^2e^(2t)-2/t^3e^(2t)+2/(t^2)+2/(t^3)$
Ora per calcolare la media dovrei derivare $M_x(t)$ e porre $t = 0$
Quindi
- derivo $M_x(t)$
$M'_x(t) =
4t)/t^4e^(2t) +4/t^2e^(2t)] - [ -(6t^2)/t^6e^(2t) + 4/t^3e^(2t)] - 4/t^3 - (6t^3)/t^6$Ora dovrei porre t = 0... ma non posso.... che faccio??
passa al limite per $trarr0$
non tende a $+oo$ il limite???
no, il limite è finito ed è il valore atteso di X
allora... boh.. il mio ragionamento
$lim_(t->0) -(4t)/t^4e^(2t) = 0$
$lim_(t->0) 4/t^2e^(2t) = +oo$
$lim_(t->0) -(6t^2)/t^6e^(2t) + 4/t^3e^(2t) = 0$
$lim_(t->0) - 4/t^3 = +oo$
$lim_(t->0) - (6t^3)/t^6 = 0$
boh.. a quanto ho capito saranno tutti sbagliati......
$lim_(t->0) -(4t)/t^4e^(2t) = 0$
$lim_(t->0) 4/t^2e^(2t) = +oo$
$lim_(t->0) -(6t^2)/t^6e^(2t) + 4/t^3e^(2t) = 0$
$lim_(t->0) - 4/t^3 = +oo$
$lim_(t->0) - (6t^3)/t^6 = 0$
boh.. a quanto ho capito saranno tutti sbagliati......
devi calcolare un limite unico...
e come faccio??? ma non è la stessa cosa di come ho fatto io?
boh io quando calcolo i limiti li spezzetto tutti....
boh io quando calcolo i limiti li spezzetto tutti....
a parte che alcuni sono sbagliati, prova a ricalcolarlo come un unico limite, il risultato dovrebbe essere 1
boh... ho provato a semplificare... però non riesco a capire.. se mi faccio pure il grafico... a 0 tende a $+oo$
ok ok ok risolto.. capito... mi sono calcolato anche la varianza così... e mi viene $1/5$
no, varianza negativa non è possibile
si infatti avevo fatto un piccolo errore di calcolo... mi viene $1/5$
grazie per l'aiutoo...
grazie per l'aiutoo...
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