Funzione generatrice dei momenti di una v.a. Normale

[Sara__1234]

Ciao a tutti. Devo studiare la dimostrazione della FGM di una v.a. Normale, ma guardando il libro c'è un passaggio che proprio non riesco a capire:

considero una normale con media $ mu $ e varianza $ sigma $

per calcolare la FGM devo risolvere il seguente integrale:
$ int_(-oo )^(+oo ) 1/(sigma sqrt(2pi))e^(-1/(2sigma^2)(x-mu)^2)e^(sx) dx $

considero che:
$ e^(xs)=e^(smu)e^(s(x-mu)) $

e porto fuori dall'integrale sia l'esponenziale $ e^(smu) $ sia il primo rapporto, quindi:

$ 1/(sigma sqrt(2pi))e^(smu)int_(-oo )^(+oo ) e^(-1/(2sigma^2)(x-mu)^2)e^(s(x-mu)) dx $

svolgendo i calcoli ho:

$ 1/(sigma sqrt(2pi))e^(smu)int_(-oo )^(+oo ) e^(-1/(2sigma^2)[(x-mu)^2-2ssigma^2(x-mu)] dx $

fino a qui mi è tutto chiaro.

ora però, il mio libro dice che si aggiunge e toglie ad esponente la seguente quantità:

$ sigma^4s^2 $

e che quindi l'integrale diventa:

$ 1/(sigma sqrt(2pi))e^(smu)int_(-oo )^(+oo ) e^(-1/(2sigma^2){[(x-mu)-sigma^2s]^2-sigma^2s^2} dx $

non mi è chiaro questo passaggio. Ho provato a rifarlo mille volte ma a questo punto mi sono arresa.
I passaggi successivi invece mi sono chiarissimi.

ringrazio chi mi aiuterà!!!!

[Lo_zio_Tom]

C'è un errore in ciò che hai scritto.

L'esponente $-1/(2sigma^2){(x-mu)^2-2ssigma^2(x-mu)}$ è un quadrato incompleto.

Aggiungendo e togliendo $s^2sigma^4$ lo completi e trovi

$-1/(2sigma^2){(x-mu)^2-2ssigma^2(x-mu)+s^2sigma^4}+(sigma^2s^2)/2$

L'ultimo addendo non dipende da x e lo porti fuori. L'integrale così scritto fa 1 e ti rimane la fgm cercata

$M_X(s)=e^(mu s+(sigma^2 s^2)/2)$