Funzione Gamma Incompleta in Excel

[ReggaetonDj]

Non so proprio se la sezione è quella giusta, chiedo venia ai mods, ma parlando di distribuzione Gamma mi sembra il posto meno disadatto.

Il mio problema è questo: devo calcolare la funzione Gamma Incompleta in Excel sebbene non esista una funzionalità di calcolo nativa.

L'avevo pensata così:

Excel mette a disposizione queste due funzioni:
[list=1]
[*:1onbw8a1]DISTRIB.GAMMA[/*:m:1onbw8a1]
[*:1onbw8a1]LN.GAMMA[/*:m:1onbw8a1][/list:o:1onbw8a1]

Prima di iniziare definisco $\Gamma(\alpha)$ e $\Gamma(\alpha,x)$ rispettivamente come la funzione Gamma e la funzione Gamma incompleta. Ovvero

$\Gamma(\alpha) = \int_0^\infty t^{\alpha-1}e^{-t}dt$,
e
$\Gamma(\alpha,x) = \int_x^\infty t^{\alpha-1}e^{-t}dt$.

Usando la notazione di excel nel link 1, la p.d.f. è definita come:

$f(x,\alpha,\beta) = \frac{1}{\beta^\alpha \Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-\frac{x}{\beta}}$,

da cui se pongo $\beta =1$ ottengo questa p.d.f.:

$f(x,\alpha,1) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-x}$.

Ho letto in giro che a questo punto calcolandomi la cumulata di questa p.d.f. dovrei poter ricavare $\Gamma(\alpha,x)$. Eppure non sono sicuro. Se non sbaglio la c.d.f. dovrei ottenerla così:

$F(x,\alpha,1) = \int_0^x f(u,\alpha,1) du$.

Ma non riesco a risolvere l'integrale (ruggini varie). Il ragionamento secondo voi è corretto?

[DajeForte]

Se quello che ti interessa è la funzione puoi fare cosi:

Dis_Gamma(x,a,1)=$int_0^xf(u,a,1)du=1/(Gamma(a))int_0^x u^(a-1)e^(-u)du$

Quindi l'integrale è uguale a Dis_Gamma * Gamma

[ReggaetonDj]

Grazie per la risposta! In realtà non ho capito benissimo cosa intendi, ma è un problema mio, sto facendo troppa confusione, devo riordinare un po' le idee...

Quello che mi interessa è calcolare la funzione Gamma incompleta con excel.

Provo a riflettere ancora un secondo sulla tua risposta e cerco di venirne a capo .

[DajeForte]

Ok.Io per un'oretta sono qua se hai problemi posso essere un po' + dettagliato.

[ReggaetonDj]

Eccomi! Forse ho capito, ripropongo il ragionamento riusando alcuni spezzoni del primo post.

Ricapitoliamo:

Problema

Calcolare la funzione Gamma Incompleta in Excel sebbene non esista una funzionalità di calcolo nativa.

Strumenti

Excel mette a disposizione queste due funzioni:
[list=1]
[*:2ih28aqq]DISTRIB.GAMMA[/*:m:2ih28aqq]
[*:2ih28aqq]LN.GAMMA[/*:m:2ih28aqq][/list:o:2ih28aqq]

Premessa

Definiamo $\Gamma(\alpha)$, $\Gamma(\alpha,x)$ e $\gamma(\alpha,x)$ rispettivamente come la funzione Gamma, la funzione Gamma incompleta e la funzione Gamma incompleta inferiore regolarizzata . Ovvero

$\Gamma(\alpha) = \int_0^\infty t^{\alpha-1}e^{-t}dt$,
$\Gamma(\alpha,x) = \int_x^\infty t^{\alpha-1}e^{-t}dt$,
e
$\gamma(\alpha,x) = \int_0^x t^{\alpha-1}e^{-t}dt$.

Ovviamente avremo che: $\Gamma(\alpha) = \gamma(\alpha,x) + \Gamma(\alpha,x)$.

Tesi

Usando la notazione di excel nel link 1, la p.d.f. è definita come:

$f(x,\alpha,\beta) = \frac{1}{\beta^\alpha \Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-\frac{x}{\beta}}$,

da cui se pongo $\beta =1$ ottengo questa p.d.f.:

$f(x,\alpha,1) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-x}$.

La cui c.d.f. sarà:

$F(x,\alpha,1) = \int_0^x f(u,\alpha,1) du = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_0^x u^{\alpha-1} e^{-u} du= \frac{gamma(\alpha,x)}{\Gamma(\alpha)}$.

Possiamo rielaborare questo risultato come segue:

$F(x,\alpha,1) = \frac{gamma(\alpha,x)}{\Gamma(\alpha)} =1 - \frac{Gamma(\alpha,x)}{\Gamma(\alpha)}$,

da cui si evince la seguente relazione:

$Gamma(\alpha,x) = (1 - F(x,\alpha,1))\Gamma(\alpha)$.

Per cui ragionando alla pseudo-Excel posso ricavare la funzione Gamma Incompleta con questo codice:

=(1 - DISTRIB.GAMMA(x;$\alpha$;1;VERO))*EXP(LN.GAMMA($\alpha$))

Potrebbe essere ok?

PS.
Mica esiste qualcosa di più comodo per computare e plottare tratti di funzioni che incorporano la funzione Gamma o altre funzioni speciali?


Ciao e Grazie.