Funzione di variabili aleatorie esercizio

[alessandro.roma.1654]

salve ragazzi capisco che siamo sotto feste ma il mio e problema urgente in quanto i primi di gennaio ho un esame di probabilità. allora abbiamo due variabile aleatorie X,Y indipendenti e identicamente distribuite come un esponenziale simmetrico con densita $ e^(-|t|)/2$ trovare la densita di $Z=X/Y$

allora $F_(z)=P(Z0)P(Y>0)+P(X/Y>z|y<0)P(Y<0)=$ per indipendenza$=P(X/Yz)= \{(0 _____x=-infty),(?_____ -infty

ho disegnato anche il piano su un foglio ma questo modulo non mi permette di capire come impostare gli integrali relativi ai casi dove ho messo i punti interrogativi mi basta capire come funziona il giochino in questo caso magari se mi potete fare un disegnino di come varia il coefficente angolare della retta in base ai valori di zeta

[Lo_zio_Tom]

l'idea è la seguente:

cercare la CDF di Z

$P(Zx/z)=intint_(y>x/z)f(x,y)dxdy$

ovviamente per l'indipendenza $f(x,y)=f(x)f(y)$

se non riesci da solo domani gli dò un'occhiata (impegni festivi permettendo...)

[alessandro.roma.1654]

Ciao Tommy io sono arrivato ad un ragionamento in base a c ho che ho scritto con i condizionamenti adesso per per analizzare i due casi devo impostare gli integrali tenendo conto che in caso la z e negativa e questo comporta delle cose su le disuguaglianze e di conseguenza sul impostazione degli integrali

[Lo_zio_Tom]

premesso che non ho avuto tempo di guardarlo con calma penso di poterlo risolvere così:

consideriamo la formula di trasformazione di variabile $2 rarr 2$

$f_(Z,V)(z,v)=f_(X,Y)(x(z,v),y(z,v))|detJ|$

poniamo:


${{: ( Z=X/Y ),( V=Y) :}rarr{{: ( X=zv ),( Y=v) :}$

quindi la funzione di densità viene

$f_(Z)(z)=int_(-oo)^(oo)f_(X)(zv)f_(Y)(v)|v|dv$

nel nostro caso abbiamo:

$f_(Z)(z)=1/4int_(-oo)^(+oo)e^(-|zv|)e^(-|v|)|v|dv$

da cui, spezzando i moduli (e considerando anche che $z in RR$), ottengo quanto segue:


$f_(Z)(z)={{: ( 1/(2(z-1)^2) , ;z<0 ),( 1/(2(z+1)^2) , ;z>=0 ) :}$


non ho tempo di controllare bene i conti fatti frettolosamente ma mi pare che tutto vada bene: $ f (z)>=0 AA z $ e $ int_(-oo )^(oo ) f (z) dz=1$

PS: ogni intervento è ben accetto

[alessandro.roma.1654]

Ma il risultato della $f_Z(z)$ e la densità ?? No perché prima scrivi integrale uguale alla $f_Z(z)$ che dovrebbe essere la funzione di ripartizione

[alessandro.roma.1654]

Poi senza effettuare la trasformazione che mi sembra un Po complicata adottarla in quanto non ne sono pratico per via dello jacobiano ecc... procedendo con i condizionamenti come ho fatto io (dimmi se nel mio procedimento ci sono errori ) mi trovo in una situazione in cui devo calcolare le due probabilità come ho scritto ovvero $P(X -zY)$e devo considerare al variare di zeta come cambiano le disuguaglianze che a parer mio mi sembra più semplice..nel caso in $z<0$
Risulta che devo calcolare area del piano $X<-zY$ ovvero la parte del piano superiore alla retta $x=-zy$ con le y positive giusto? (bed area 1 in foto)
Poi per le y negative area $X> -Y-z=>X>Yz$ (area 2 in foto) dimmi se sto scrivendo cavolate ma vorrei poterlo fare con questo metodo che mi sembra più intuitivo e meno analitico

[alessandro.roma.1654]

Ecco la foto

[Lo_zio_Tom]

per calcolare funzioni di vettori aleatori (come in questo caso) esistono vari metodi. In questo caso mi sembrava più lineare il calcolo diretto della densità.
Per lo jacobiano non mi pare ci siano problemi

$|| ((partialx)/(partialv) , (partialx)/(partialz) ),( (partialy)/(partialv) , (partialy)/(partialz) ) || =|| (z , v ),( 1 , 0 ) ||=|v|$

E' indubbio che il problema si deve poter risolvere in tutti i modi, quindi prova tu come stai facendo e vediamo se i risultati tornano

[alessandro.roma.1654]

Forse sono quasi alla soluzione ma mi servirebbe un pizzico del tuo aiuto... Allora per via di condizionamenti sia per le X e Y sono arrivato a scrivere che
$F_Z(z)=2P(X>zY)+2P(X Se $z<0$ allora la $P(X Mentre se $z>0$ non so come continuare perché se calcolo entrambi gli integrali ovviamente esce 1 e non una funzione di z

[Lo_zio_Tom]

"alessandrof10":Forse sono quasi alla soluzione ma mi servirebbe un pizzico del tuo aiuto...
Mentre se $z>0$ non so come continuare perché se calcolo entrambi gli integrali ovviamente esce 1 e non una funzione di z

va bene....allora vediamo come farlo anche con l'altro metodo....

Rispondendo alla tua richiesta vediamo cosa succede per $z>0$

Secondo la definizione di CDF abbiamo

$P(Z<=z)=P(X/Y<=z)$

ora notiamo che $z>0$ lo possiamo ottenere sia quando $x,y$ sono entrambi $>0$ che quando $x,y$ sono entrambi $<0$ quindi è logico pensare che


$P(Z<=z)=2P(y>x/z)$ considerando solo l'area del primo quadrante sopra la retta $y=x/z$

quindi il nostro integrale (la funzione di ripartizione) viene:

$1/2int_(0)^(oo)int_(x/z)^(oo)e^(-x)e^(-y)dxdy=...=z/(2(z+1))$

da cui derivando otteniamo:

$(dF)/(dz)=1/(2(z+1)^2)$

ovvero il medesimo risultato ottenuto con l'altro metodo...

Ora dovresti essere a posto, dato che hai detto che la parte negativa di torna..



NOTA BENE: la funzione di ripartizione così come l'ho calcolata per $z>0$, ovvero$ z/(2(z+1))$ non è completa, ed infatti se provi a valutarla per $z->oo$ fa $1/2$ e non uno! Ciò in quanto prima bisognerebbe calcolare la CDF per la parte negativa ...la CDF per $z>0$ sarà $1/2+z/(2(z+1))$ in quanto $int_(-oo)^(0)f(z)dz=1/2$

[alessandro.roma.1654]

Ottimo infatti mi uscivano i tuoi stessi conti però non riuscivo a far tornare a 1/2 integrando le aree però pensandoci dovrei integrale la Fz tra meno infinito e zero quindi risolto... Senti per caso tu te ne intendi anche di converge perché ho postato un altro topic in quanto non mi tornano le convergenze in distribuzione e in probabilità