Funzione di ripartizione e percentili da ricavare
Ho una distribuzione di log-rendimenti ed è mio interesse attribuirgli una densità teorica di riferimento,
la Normale è la scelta classica ma devo proporre anche alternative. In finanza una situazione tipica è data dalla curtosi in eccesso nel campione(code spesse), rispetto alla normale ed allora pongo come alternativa una Logistica, che come la Normale dipende da 2 parametri ed ha un eccesso di curtosi pari a 1,2.
Fin qui tutto ok, ma i dettagli su come procedere (non per simulazioni ma per vie analitiche) sono un argomento bistrattato in finanza ed allora procedo col “fai da te”.
Tanto per capirci il VaR (forma parametrica, lo intendo qui come return VaR ed ipotizzo rendimento atteso nullo) si calcola come:
$VaR_(alpha)= Z_(alpha) * sigma$
Dove $Z_(alpha)$ è il percentile relativo al livello di significatività $alpha$ impostato
(tipicamente 1% o 5%)
a cui si associano (in valore assoluto)
$Z_(0,05)=1,645$
$Z_(0,01)=2,326$
e $sigma$ è la deviazione standard dei log-rendimenti.
Il valore ottenuto rappresenta la massima perdita possibile, in termini di rendimento, dato il livello di significatività impostato. L’orizzonte temporale che qui è unitario.
Il fatto è che, secondo me, è possibile una soluzione in via diretta del problema anche con distribuzioni diverse dalla normale, si tratta solo di tabulare i nuovi $Z_(alpha)$ relativi alla distribuzione alternativa. Anche se in finanza la maggior parte dei testi propongono simulazioni.
Adesso un punto fondamentale è che, a mio avviso, non si possono usare i percentili della Logistica standard!!!
La considerazione che faccio è: “Se la varianza del campione è quella che ho misurato, a prescindere dalla distribuzione vera, in quella che porrò come alternativa dovrò vincolare i parametri alla restituzione di tale varianza campionaria”. Insomma qualcosa che assomiglia al metodo dei momenti, ricordo che la media è vincolata a zero.
La mia alternativa come dicevo è la Logistica che, nella versione generale, dipende da 2 parametri che chiamo $m$ e $b$.
La media sarebbe $m$ che è vincolata a zero, e la varianza $(pi*b)^2/3$
La varianza campionaria la chiamo $s^2$, e nel caso della Normale è tutto già pronto perché
$s^2=sigma^2$
E faccio i conti come detto sopra.
Mentre nel caso logistico, come dicevo, devo ricavarmi il parametro
$b=s*3^(0,5)/pi$
Tale equivalenza garantisce che la varianza della distribuzione calcolata in modo parametrico sia pari $s^2$
Arrivati a tal punto, con qualche passaggio, posso ricavare i percentili. Direi che sono quelli della
logistica standard $m=0$ e $b=1$, ma "aggiustati". Poi calcolo il VaR con la solita formula.
I percentili aggiustati a me risultano
$L_(0,05) = 1,623$
$L_(0,01) = 2,533$
I conti sui percentili vi tornano?
Vi sembra un metodo corretto?
la Normale è la scelta classica ma devo proporre anche alternative. In finanza una situazione tipica è data dalla curtosi in eccesso nel campione(code spesse), rispetto alla normale ed allora pongo come alternativa una Logistica, che come la Normale dipende da 2 parametri ed ha un eccesso di curtosi pari a 1,2.
Fin qui tutto ok, ma i dettagli su come procedere (non per simulazioni ma per vie analitiche) sono un argomento bistrattato in finanza ed allora procedo col “fai da te”.
Tanto per capirci il VaR (forma parametrica, lo intendo qui come return VaR ed ipotizzo rendimento atteso nullo) si calcola come:
$VaR_(alpha)= Z_(alpha) * sigma$
Dove $Z_(alpha)$ è il percentile relativo al livello di significatività $alpha$ impostato
(tipicamente 1% o 5%)
a cui si associano (in valore assoluto)
$Z_(0,05)=1,645$
$Z_(0,01)=2,326$
e $sigma$ è la deviazione standard dei log-rendimenti.
Il valore ottenuto rappresenta la massima perdita possibile, in termini di rendimento, dato il livello di significatività impostato. L’orizzonte temporale che qui è unitario.
Il fatto è che, secondo me, è possibile una soluzione in via diretta del problema anche con distribuzioni diverse dalla normale, si tratta solo di tabulare i nuovi $Z_(alpha)$ relativi alla distribuzione alternativa. Anche se in finanza la maggior parte dei testi propongono simulazioni.
Adesso un punto fondamentale è che, a mio avviso, non si possono usare i percentili della Logistica standard!!!
La considerazione che faccio è: “Se la varianza del campione è quella che ho misurato, a prescindere dalla distribuzione vera, in quella che porrò come alternativa dovrò vincolare i parametri alla restituzione di tale varianza campionaria”. Insomma qualcosa che assomiglia al metodo dei momenti, ricordo che la media è vincolata a zero.
La mia alternativa come dicevo è la Logistica che, nella versione generale, dipende da 2 parametri che chiamo $m$ e $b$.
La media sarebbe $m$ che è vincolata a zero, e la varianza $(pi*b)^2/3$
La varianza campionaria la chiamo $s^2$, e nel caso della Normale è tutto già pronto perché
$s^2=sigma^2$
E faccio i conti come detto sopra.
Mentre nel caso logistico, come dicevo, devo ricavarmi il parametro
$b=s*3^(0,5)/pi$
Tale equivalenza garantisce che la varianza della distribuzione calcolata in modo parametrico sia pari $s^2$
Arrivati a tal punto, con qualche passaggio, posso ricavare i percentili. Direi che sono quelli della
logistica standard $m=0$ e $b=1$, ma "aggiustati". Poi calcolo il VaR con la solita formula.
I percentili aggiustati a me risultano
$L_(0,05) = 1,623$
$L_(0,01) = 2,533$
I conti sui percentili vi tornano?
Vi sembra un metodo corretto?
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