Funzione di ripartizione della somma di due variabili aleatorie
Salve, devo dimostrare che
\(\displaystyle P(X+Y<=a) = \int_{-\infty}^{+\infty} F_{X}(a-y)f_{Y}(y)dy \)
Dove \(\displaystyle F_{X}(a-y) \) e' la funzione di ripartizione di $X$ e \(\displaystyle f_{Y} \) e' la funzione di densita' di $Y$
Non saprei da dove iniziare...
\(\displaystyle P(X+Y<=a) = \int_{-\infty}^{+\infty} F_{X}(a-y)f_{Y}(y)dy \)
Dove \(\displaystyle F_{X}(a-y) \) e' la funzione di ripartizione di $X$ e \(\displaystyle f_{Y} \) e' la funzione di densita' di $Y$
Non saprei da dove iniziare...
Risposte
Immagino tu stia anche assumendo che le variabili siano assolutamente continue ed indipendenti.
potresti partire dalla definizione di CDF e scriverla come integrale della densità congiunta.
potresti partire dalla definizione di CDF e scriverla come integrale della densità congiunta.
Sto assumendo solo la continuita'
direi che senza indipendenza il teorema non vale. cosa dice esattamente il teorema?
Non e' un teorema, e' un esercizio, assumiamo indipendenza e vediamo cosa succede,
Partiamo dalla di funzione di ripartizione, perche' dovrei calcolare la congiunta? Come ci sei arrivato?
Partiamo dalla di funzione di ripartizione, perche' dovrei calcolare la congiunta? Come ci sei arrivato?
"dark777":
Partiamo dalla di funzione di ripartizione, perche' dovrei calcolare la congiunta? Come ci sei arrivato?
Sia $Z:= X+Y$
\[
F_Z(a) = P(X+Y \leq a) = \int \int f_{X,Y}(x,y)dxdy
\]
proprio dalle definizioni. ora cerca di mettere gli estremi di integrazione corretti e prova ad andare avanti da lì usando le ipotesi che hai a disposizione.
In questo caso gli estremi di integrazione sarebbero $ x + y <= a$ su entambi gli integrali?
"dark777":
In questo caso gli estremi di integrazione sarebbero $ x + y <= a$ su entambi gli integrali?
Procedendo in questo modo ho:
Per indipendenza $ f_{X,Y}(x,y) = f_{X}(x) f_{Y}(y) $
\(\displaystyle P(X+Y<=a) = \int \int_{x+y<=a} f_{X,Y}(x,y)dxdy = \int \int_{x+y<=a} f_{X}(x) f_{Y}(y) dx dy\)
Per la definizione di funzione di ripartizione $P(X<=x) = F_{X}(x) = \int_{-infty}^{x} f_{X}(t) dt $ quindi
$ \int [\int_{x+y<=a} f_{X}(x)dx] f_{Y}(y) dy = \int [\int_{x<=a-y} f_{X}(x)dx] f_{Y}(y) dy = \int F_{X}(a-y) f_{Y}(y) dy $
Corretto?
è corretto: l'unica precisazione che faccio è che non è vero che gli estremi di integrazione sono l'insieme ${x+y <= a}$ per entrambi gli integrali. è vero solo per l'integrale della x, quello della y spazia invece su $\mathbb{R}$
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