Funzione di ripartizione della densità di probabilità

[Pittul]

Buongiorno, devo risolvere questo esercizio:

Per le nevicate in una certa regione, il numero X di centimetri di neve è una v. a. con densità di probabilità del tipo:
$ f(x)= { ( cx | 0<=x<=5 ),( -c(x-10) | 5 Lo 0 vale per gli altri casi

Trova
a) il fattore c di normalizzazione
b) la funzione di ripartizione di X
c) il 40-mo percentile si X

Ho trovato la risposta a) facendo $ 1= int_(0)^(5) cx dx + int_(5)^(10) -c(x-10) dx $ e viene $ c=1/25$.
Il problema è la risposta b). Ho pensato di fare gli integrali delle funzioni ed ho trovato questo

$ F(x)={(x^2/25 | 0<=x<5),(10/25x-x^2/50 | 5
Secondo la soluzione nella seconda equazione ci dovrebbe essere anche un -1, poi ci sono anche altre due equazioni: per $ x <0 $ si ha $0$ e per $x>10$ si ha $1$.

La mia domanda è: la prima e l'ultima equazione sono sempre 0 e 1? Perché anche in tutti gli altri esercizi e così. Inoltre vorrei sapere cosa sbaglio nell'equazione in cui manca il -1.
Grazie mille per l'aiuto e scusate il post immensamente lungo ma se non faccio così me lo bloccano

[Lo_zio_Tom]

"Pittul":.... e scusate il post immensamente lungo ma se non faccio così me lo bloccano

intanto vorrei precisare che ti blocco il topic quando non è conforme al regolamento. Il presente topic non è affatto lunghissimo ma è scritto nel pieno rispetto del regolamento, ovvero corredato da bozza risolutiva che dimostra i tuoi sforzi fatti per risolvere la questione.

Ciò premesso, vediamo l'esercizio: hai fatto un paio di errori + un errorino

1) nel primo intervallo, $0<=x<5$ la F viene $F(x)=int_(0)^(x)t/25dt=x^2/50$

2) nel secondo intervallo, dato che la CDF è la funzione cumulativa delle frequenze, oltre che calcolare $F(x)=int_(5)^(x) (10-t)/25 dt$ dovrai sommare anche il valore cumulato precedente, ovvero $F_(X)(5)=1/2$ ottenendo così

$1/2+int_(5)^(x)(10-t)/25dt=...= 10/25 x-x^2/50-1$

in questo modo vedrai che la tua CDF sarà continua come dev'essere, vista la densità triangolare.



come scriverla? beh hai diverse possibilità ma devi scriverla tutta.....tu ne hai dimenticato un pezzo (come nella densità giustamente scrivi "zero altrove" nella CDF devi indicare dove è zero e dove uno)

$F_(X)(x)-={{: ( 0 , ;x<0 ),( x^2/50 , ;0<=x<5 ),( -x^2/50+10/25x-1 ,;5<=x<10 ),( 1 , ;x>=10 ) :}$

ma se non ti piace puoi optare per una scrittura più compatta

$F_(X)(x)=x^2/50 I_([0;5))(x)+(-x^2/50+10/25x-1 )I_([5;10))(x)+I_([10;+oo))(x)$

che è lo stesso. In genere si preferisce scrivere la CDF come funzione continua da sinistra, come ho fatto io.....

PS: A questo punto per calcolare eventuali quantili ti basta semplicemente sostituire la % richiesta nella $F(x)$ e risolvere in x....così abbiamo spiegato anche quello del topic bloccato

[Pittul]

Perfetto, grazie mille! Non mi era ben chiaro come gestire quel $1/2$, adesso ho capito.

Io il quantile fino ad ora l'ho calcolato con questo ragionamento:
1) divido a metà il sistema: 0 e $x^2/50$ sono nella parte $<0,5$ mentre $10/25x-x^2/50-1$ e 1 sono nella sezione $x>10$
2) dato che il quantile che devo calcolare è 0.4 fa parte della prima sezione. Dato che la prima equazione è quella associata allo 0 devo usare la seconda

Ho usato questo procedimento in tutti gli esercizi e fino ad ora mi è sempre venuto, però mi sembra un po' troppo poco... matematico. Potrei avere la conferma (o la smentita) della sua correttezza?

[Lo_zio_Tom]

Basta guardare il grafico seguente per vedere che il 40° percentile si trova in $[0;5] $, molto vicino a 5. È il valore di ascissa tale per cui $P (X<=x)=0,4$

Quindi $x^2/50=0,4 rarr x=2sqrt (5) $