Funzione di probabilità di massa - Urna e palline verdi, rosse e bianche
Buonasera a tutti sono alle prese con il seguente esercizio:
Un’urna contiene 2 palline verdi, 3 rosse e 5 bianche. Estraiamo casualmente 3 palline senza reinserimento. Guadagniamo 1€ per ogni pallina verde, nulla per ogni pallina bianca e perdiamo 1€ per ogni pallina rossa. Calcola la funzione di probabilità di massa e il valore atteso della vincita a questo gioco. E nel caso di 2 palline verdi, 2 rosse e 6 bianche?
Ho inziato a ragionare nel seguente modo:
$P(R,V,B) = (((3),(1))*((2),(1))*((5),(1)))/(((10),(3))) =1/4$
$P(B,B,B)=(((5),(3)))/(((10),(3)))=1/12$
$P(B,B,V)= (((5),(2))*((2),(1)))/(((10),(3))) =1/6$
$P(B,B,R)=(((5),(2))*((3),(1)))/(((10),(3))) =1/4$
$P(V,V,R)=(((2),(2))*((3),(1)))/(((10),(3)))=1/40$
$P(V,V,B)=(((2),(2))*((5),(1)))/(((10),(3)))=1/24$
$P(R,R,B)=(((3),(2))*((5),(1)))/(((10),(3)))=1/8$
$P(R,R,V)=(((3),(2))*((2),(1)))/(((10),(3)))=1/20$
$P(R,R,R)=(((3),(3)))/(((10),(3)))=1/120$
Ho definito X come il valore della vincita possibile per ogni combinazione di palline estraibili dall'urna individuando le seguenti probabilità:
$P(X=0)=1/12+1/4=1/3$
$P(X=1)=1/6+1/40=23/120$
$P(X=-1)=1/4+1/20=3/10$
$P(X=-2)=1/8$
$P(X=2)=1/24$
$P(X=-3)=1/120$
$E[X]=0*1/3+23/120-3/10-1/4+1/12-1/40=-0,3$
Quello che non riesco a fare e trovare la funzione di probabilità di massa.
Ovviamente c'è da fare anche la seconda parte dell'esercizio (E nel caso di 2 palline verdi, 2 rosse e 6 bianche?)
Sono sicuro che per risolvere questo tipo di esercizio c'è un metodo molto più veloce di quello trovato da me analizzando caso per caso tutti i casi facorevoli sui casi possibili.
Confido nel vostro aiuto. Grazie.
Un’urna contiene 2 palline verdi, 3 rosse e 5 bianche. Estraiamo casualmente 3 palline senza reinserimento. Guadagniamo 1€ per ogni pallina verde, nulla per ogni pallina bianca e perdiamo 1€ per ogni pallina rossa. Calcola la funzione di probabilità di massa e il valore atteso della vincita a questo gioco. E nel caso di 2 palline verdi, 2 rosse e 6 bianche?
Ho inziato a ragionare nel seguente modo:
$P(R,V,B) = (((3),(1))*((2),(1))*((5),(1)))/(((10),(3))) =1/4$
$P(B,B,B)=(((5),(3)))/(((10),(3)))=1/12$
$P(B,B,V)= (((5),(2))*((2),(1)))/(((10),(3))) =1/6$
$P(B,B,R)=(((5),(2))*((3),(1)))/(((10),(3))) =1/4$
$P(V,V,R)=(((2),(2))*((3),(1)))/(((10),(3)))=1/40$
$P(V,V,B)=(((2),(2))*((5),(1)))/(((10),(3)))=1/24$
$P(R,R,B)=(((3),(2))*((5),(1)))/(((10),(3)))=1/8$
$P(R,R,V)=(((3),(2))*((2),(1)))/(((10),(3)))=1/20$
$P(R,R,R)=(((3),(3)))/(((10),(3)))=1/120$
Ho definito X come il valore della vincita possibile per ogni combinazione di palline estraibili dall'urna individuando le seguenti probabilità:
$P(X=0)=1/12+1/4=1/3$
$P(X=1)=1/6+1/40=23/120$
$P(X=-1)=1/4+1/20=3/10$
$P(X=-2)=1/8$
$P(X=2)=1/24$
$P(X=-3)=1/120$
$E[X]=0*1/3+23/120-3/10-1/4+1/12-1/40=-0,3$
Quello che non riesco a fare e trovare la funzione di probabilità di massa.
Ovviamente c'è da fare anche la seconda parte dell'esercizio (E nel caso di 2 palline verdi, 2 rosse e 6 bianche?)
Sono sicuro che per risolvere questo tipo di esercizio c'è un metodo molto più veloce di quello trovato da me analizzando caso per caso tutti i casi facorevoli sui casi possibili.
Confido nel vostro aiuto. Grazie.
Risposte
E' tutto giusto. Non esistono altri modi. L'unica cosa che si potrebbe fare è eliminare uno dei casi perché si può calcolare con il complementare.
La funzione di probabilità di massa l'hai già calcolata quando hai fatto i vari casi per calcolare il valore atteso.
Se proprio non ti piace la puoi scrivere così
$mathbb{P}_X(x)={{: ( 1/120 , ;x=-3),( 15/120 , ;x=-2 ),( 36/120 , ;x=-1 ),( 40/120 , ;x=0 ),( 23/120 , ;x=1 ),( 5/120 , ;x=2 ),(0,;" altrove") :}$
l'ho scritta tutta in 120-esimi così si legge meglio ed è utile per altri scopi....
La funzione di probabilità di massa l'hai già calcolata quando hai fatto i vari casi per calcolare il valore atteso.
Se proprio non ti piace la puoi scrivere così
$mathbb{P}_X(x)={{: ( 1/120 , ;x=-3),( 15/120 , ;x=-2 ),( 36/120 , ;x=-1 ),( 40/120 , ;x=0 ),( 23/120 , ;x=1 ),( 5/120 , ;x=2 ),(0,;" altrove") :}$
l'ho scritta tutta in 120-esimi così si legge meglio ed è utile per altri scopi....
Grazie mille di tutto!
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