Funzione di max verosomiglianza

[Zenobi1]

Devo trovare la funzione di max verosomiglianza di $\pi*( 1 - \pi)^x$

Usando il logaritmo mi viene così

$\sum_{i=1}^n x_i*ln(1 - \pi )+n*ln(\pi)$

ora devo fare la derivata rispetto a $\pi$.

I risultato dovrebbe essere $n/(\sum_{i=1}^n x_i)$

Non capisco i passaggi per arrivare a ciò...

[Zenobi1]

Si, la stima non la funzione.

Facendo la derivata mi viene così, ma non credo sia giusto

$(\sum_{i=1}^n x_i)/(1- pi) + n/pi$

[Zenobi1]

Mi risulta

$pi = n / (n + \sum_{i=1}^n x_i)$

[Zenobi1]

Ok grazie
Senza aprire un 'altra discussione.

Devo dimostrare che la varianza campionaria è uno stimatore distorto della varianza.
Quindi devo porre:

$E(S_n^2)=sigma^2$

Guardando i miei appunti vedo:

$E(S^2) = E(M_2 - bar x^2) = E(M_2) - E(bar x^2) = mu_2 - E(bar x^2)$

$V(bar x) = E(bar x^2) - [E(bar x)]^2$

$sigma/n = E(bar x^2) - mu^2$

$E(bar x^2) = sigma/n + mu^2$

$E(S^2) = mu_2 - (sigma/n + mu^2)$

$E(S^2) = sigma^2 - sigma^2/n$ ----> stimatore distorto poichè $E(S^2) != sigma^2$

Non so se sia una sorta di dimostrazione semplificata, ma non capisco assolutamente i passaggi

[Zenobi1]

Mi scuso per l'uso di espressioni non consone.
Comunque in alcuni forum si tendono a limitare le discussioni aperte per singola persona quando non è strettamente necessario.
Per quanto riguarda i simboli, da "noi"
$S^2 = S_n^2$ e la varianza campionaria corretta si indica con $S_c^2$

Ritornando alla dimostrazione, come si arriva a ciò dal passaggio precedente?
$(V[X]+(E[X])^2) - (V[\bar{X}_n]+(E[\bar{X}_n])^2)$

Non capisco da dove vengono fuori $V[X]$ e $V[bar X_n]$