Funzione di massa di probabilità
Salve,so che questo problema è davvero banale ma avrei bisogno d'aiuto.
E' data una popolazione con distribuzione seguente:
$P(x=0)=0.2 P(x=1)=0.3 P(x=2)=0.5 $
Determina la funzione di massa di probabilità della media campionaria di un campione casuale X1,X2,...,Xn proveniente da questa popolazione per $n=2$ e $n=3$.
E' data una popolazione con distribuzione seguente:
$P(x=0)=0.2 P(x=1)=0.3 P(x=2)=0.5 $
Determina la funzione di massa di probabilità della media campionaria di un campione casuale X1,X2,...,Xn proveniente da questa popolazione per $n=2$ e $n=3$.
Risposte
no, non è banalissimo..vediamo come fare
l'esercizio si propone di calcolare la distribuzione di $Z=(X_(1)+X_(2))/2$ e di $W=(X_(1)+X_(2)+X_(3))/3$
del campione casuale proveniente dalla seguente popolazione:
$X={{: ( 0 , 1 , 2 ),( 2/10 , 3/10 , 5/10 ) :}$
Dato che il campione è casuale, ciò significa che ogni elemento del campione ha la stessa distribuzione della popolazione e gli elemeti del campione sono indpendenti; dunque
$X_(i)={{: ( 0 , 1 , 2 ),( 2/10 , 3/10 , 5/10 ) :}$
$AA i$
Cominciamo con la distribuzione $Z$
La prima cosa da fare è capire quale sia il dominio di $Z$.
Ovviamente, per trovare lo spazio campionario di z basta appicare la trasformazione a tutti i possibili casi ottenendo:
$Z:{0,1/2,1,3/2,2}$
ora basta assegnare la corretta probabilità ad ogni valore di Z:
Es:
$Z=0 rarr {X_(1)=0,X_(2)=0} rarr P(Z=0)=2/10\cdot2/10=4/100$
$Z=1/2 rarr {X_(1)=0,X_(2)=1} uu {X_(1)=1,X_(2)=0}rarr P(Z=1)=2/10\cdot3/10+3/10\cdot2/10=12/100$
e così via...
in definitiva otteniamo:
$Z={{: ( 0 , 1/2 , 1 , 3/2 , 2),( 4/100 , 12/100 , 29/100 ,30/100 , 25/100 ) :}$
ora prova tu con $n=3$
l'esercizio si propone di calcolare la distribuzione di $Z=(X_(1)+X_(2))/2$ e di $W=(X_(1)+X_(2)+X_(3))/3$
del campione casuale proveniente dalla seguente popolazione:
$X={{: ( 0 , 1 , 2 ),( 2/10 , 3/10 , 5/10 ) :}$
Dato che il campione è casuale, ciò significa che ogni elemento del campione ha la stessa distribuzione della popolazione e gli elemeti del campione sono indpendenti; dunque
$X_(i)={{: ( 0 , 1 , 2 ),( 2/10 , 3/10 , 5/10 ) :}$
$AA i$
Cominciamo con la distribuzione $Z$
La prima cosa da fare è capire quale sia il dominio di $Z$.
Ovviamente, per trovare lo spazio campionario di z basta appicare la trasformazione a tutti i possibili casi ottenendo:
$Z:{0,1/2,1,3/2,2}$
ora basta assegnare la corretta probabilità ad ogni valore di Z:
Es:
$Z=0 rarr {X_(1)=0,X_(2)=0} rarr P(Z=0)=2/10\cdot2/10=4/100$
$Z=1/2 rarr {X_(1)=0,X_(2)=1} uu {X_(1)=1,X_(2)=0}rarr P(Z=1)=2/10\cdot3/10+3/10\cdot2/10=12/100$
e così via...
in definitiva otteniamo:
$Z={{: ( 0 , 1/2 , 1 , 3/2 , 2),( 4/100 , 12/100 , 29/100 ,30/100 , 25/100 ) :}$
ora prova tu con $n=3$
Perfetto ho capito, grazie:)
"tommik":
Cominciamo con la distribuzione $Z$
La prima cosa da fare è capire quale sia il dominio di $Z$.
Ovviamente, per trovare lo spazio campionario di z basta appicare la trasformazione a tutti i possibili casi ottenendo:
$Z:{0,1/2,1,3/2,2}$
ora basta assegnare la corretta probabilità ad ogni valore di Z:
Es:
$Z=0 rarr {X_(1)=0,X_(2)=0} rarr P(Z=0)=2/10\cdot2/10=4/100$
$Z=1/2 rarr {X_(1)=0,X_(2)=1} uu {X_(1)=1,X_(2)=0}rarr P(Z=1)=2/10\cdot3/10+3/10\cdot2/10=12/100$
e così via...
in definitiva otteniamo:
$Z={{: ( 0 , 1/2 , 1 , 3/2 , 2),( 4/100 , 12/100 , 29/100 ,30/100 , 25/100 ) :}$
ora prova tu con $n=3$
No scusami,provando a svolgere l'esercizio mi sono resa conto di non aver capito.
Non capisco come associare i valori...nel senso per esempio per n=3 e per i=(1/3) come posso ottenere la funzione?
No,non ho capito qual è il metodo..
0 0 0
0 0 1
0 0 2
0 1 0
0 1 1
0 1 2
0 2 0
0 2 1
0 2 2
1 0 0
1 0 1
1 0 2
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2 0 1
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2 1 0
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2 2 2
0 0 1
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0 1 0
0 1 1
0 1 2
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0 2 2
1 0 0
1 0 1
1 0 2
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2 0 0
2 0 1
2 0 2
2 1 0
2 1 1
2 1 2
2 2 0
2 2 1
2 2 2
sono tutte le probabilità?
questo che vedi è tutto lo spazio degli eventi....come noti sono 27 casi, ovviamente....
ad ogni evento è associato un numero che è il valore di W, ovvero la media. La probabilità di ogni evento è pari al prodotto delle singole probabilità...quindi la nostra distribuzione varrà
$W={{: ( 0 , 1/3 , 2/3, 1 , 4/3 , 5/3 , 2 ),( 8/1000 , 36/1000 , 114/1000, 207/1000 , 285/1000 , 225/1000 , 125/1000 ) :}$
Ricominciamo dall'inizio va....
$X_(1)$ e $X_(2)$ possono valere ${0,1,2}$
in quanti modi posso combinare $X_(1)$ e $X_(2)$?
nelle prime due colonne ho messo tutti gli eventi che possono verificarsi....ad ogni evento corrisponde un nuovo valore della funzione Z (la media dei due valori di X1 e X2)
ad ogni valore di z è associata una probabilità che, per l'indipendenza delle variabili, è pari al prodotto delle due.
Per comodità di lettura ho messo solo il numeratore della probabiltà...tanto le p delle x le devi dividere per 10...mentre quelle della z le devi dividere per 100.
chiaro ora?
ad ogni evento è associato un numero che è il valore di W, ovvero la media. La probabilità di ogni evento è pari al prodotto delle singole probabilità...quindi la nostra distribuzione varrà
$W={{: ( 0 , 1/3 , 2/3, 1 , 4/3 , 5/3 , 2 ),( 8/1000 , 36/1000 , 114/1000, 207/1000 , 285/1000 , 225/1000 , 125/1000 ) :}$
Ricominciamo dall'inizio va....
$X_(1)$ e $X_(2)$ possono valere ${0,1,2}$
in quanti modi posso combinare $X_(1)$ e $X_(2)$?
nelle prime due colonne ho messo tutti gli eventi che possono verificarsi....ad ogni evento corrisponde un nuovo valore della funzione Z (la media dei due valori di X1 e X2)
ad ogni valore di z è associata una probabilità che, per l'indipendenza delle variabili, è pari al prodotto delle due.
Per comodità di lettura ho messo solo il numeratore della probabiltà...tanto le p delle x le devi dividere per 10...mentre quelle della z le devi dividere per 100.
chiaro ora?
Chiarissimo,grazie infinite
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