Funzione di distribuzione cumulativa (CDF-ripartizione) - Dubbio esercizio

[ronti1]

Ciao!

Ho molti dubbi riguardo al seguente esercizio:

"Si consideri una sequenza di variabili aleatorie indipendenti $(X_n)$ assolutamente continue, $n>=1$ .

La CDF di $X_n$ è :

$F_(X_n) (x) = { ( 0 if x<0),( (1-(1-x)^2) if x \in[0,1] ),( 1 if x>1 ):} $

Si consideri $W_n=max (X_1, X_2, ..., X_n)$

Si consideri $T_n= n^(1/8) (1-W_n)$.

Scrivere le CDF di $W_n$ e $T_n$."

Non riesco a capire dove sbaglio.
Vi mostro il mio svolgimento:
(Nota: per CDF intendo la funzione di ripartizione)

Sfruttando un risultato teorico trovato su un libro, ho scritto che la CDF di $W_n$ è la produttoria delle CDF di $X_n$.

Dunque la mia risposta per quanto riguarda la CDF di $W_n$ è:

$F_(W_n) (x)= { ( 0 if x<0),( (2x - x^2)^n if x \in[0,1] ),( 1 if x>1 ):} $

Per quanto riguarda $T_n$, ho sfruttato la CDF di $W_n$ nel seguente modo:

$F_(T_n)(t)= P(T_n <= t)= P(n^(1/8) (1-W_n) <=t ) = P ( 1-W_n <= t/(n^(1/8)))$

$= P ( -W_n <= t/(n^(1/8)) -1) = P ( W_n >= - t/(n^(1/8)) +1) = 1 - P ( W_n <= - t/(n^(1/8)) +1)$

Quindi ho che:

$F_(T_n)(t)= 1 - F_(W_n)( 1 - t/(n^(1/8)))$

Ora posso scrivere:

$F_(T_n) (t)= { ( (1-0) if 1 - t/(n^(1/8))<0),( 1 - (2(1 - t/(n^(1/8))) - (1 - t/(n^(1/8)))^2)^n if 1 - t/(n^(1/8)) \in[0,1] ),( (1- 1) if 1 - t/(n^(1/8))>1 ):} $

Dunque

$F_(T_n) (t)= { ( 1 if 1 - t/(n^(1/8))<0),( 1 - (2 - (2t)/(n^(1/8)) - (1 - t/(n^(1/8)))^2)^n if 1 - t/(n^(1/8)) \in[0,1] ),( 0 if 1 - t/(n^(1/8))>1):} $


Ora, uno dei miei dubbi riguarda in particolar modo gli estremi.
Vorrei scrivere il sistema in base a come varia $t$. Io scrivo questo:

$1 - t/(n^(1/8))=0 hArr t= (n^(1/8))$

$1 - t/(n^(1/8))=1 hArr t= 0$

Dunque la mia risposta per quanto riguarda la CDF di $T_n$ è:

$F_(T_n) (t)= { ( 0 if t<0),( 1 - (2 - (2t)/(n^(1/8)) - (1 - t/(n^(1/8)))^2)^n if t\in[0,n^(1/8)] ),( 1 if t>n^(1/8)):} $

Il risultato purtroppo è sbagliato, e non capisco dove sbaglio.

La CDF corretta di $T_n$ è (soluzione):

$F_(T_n) (t)= { ( 1- (1-t^2/(n^(1/4)))^n if t^2/(n^(1/4))<=1),( 0 if t^2/(n^(1/4))>1):} $

Ringrazio chiunque sia in grado di aiutarmi a capire dove sbaglio!

[Quinzio]

Non capisco, ma non dovrebbe essere che la CDF tende a 1 per $x -> +infty$

Confronta qui : https://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_ ... ilit%C3%A0