Funzione di densità trasformazione variabile aleatoria continua

[mbistato]

Ciao a tutti,
sono alle prese con il seguente problema di statistica:
Si consideri una variabile aleatoria X con distribuzione uniforme in [0,1] e la trasformazione $g(x)=-|x|$. Determinare la pdf della variabile aleatoria $Y=g(X)$.
Ho ragionato cosi: trovo dapprima la CDF di Y e poi trovo la pdf di Y derivando la CDF rispetto a y.
Per trovare la CDF di Y ho distinto 2 casi:
Nel caso Y>=0 $F_Y(y)=P(Y<=y)=1$ poichè $y=g(x)<0\ \forall x$.
Nel caso Y<0 (che si ottiene $\forall x$) si ha: $F_Y(y)=F_X(x)$, ossia la funzione di ripartizione di una uniforme in [0,1].
Ma cosi facendo non arrivo a ottenere $F_Y(y)$ in funzione di y.

Cosa non sto attenzionando?

[Lo_zio_Tom]

Dato che $X~U [0,1] $ la trasformazione è $Y=-X $ e il modulo non serve.

$F_Y (y )=P (Y <=y)=P (-X <=y)=P (X> -y)=1-F_X (-y)=1+y $

Derivando ottieni

$f (y)=I_([-1;0])(y) $

Cioè una uniforme in $[-1;0] $

Ciao

[mbistato]

Grazie Tommik per l'ennesima volta.
Un'ultima cosa. Il dominio della trasformazione g(x) è quindi [0,1], visto che X è distribuita uniformemente in [0,1], giusto?

[Lo_zio_Tom]

non capisco cosa tu intenda con dominio della trasformazione, se il dominio di x o di y

$X in [0;1]$ mentre $Y in [-1;0]$

Click sull'immagine per visualizzare l'originale

io se fossi in te proverei a fare lo stesso esercizio partendo da una $X~ U[-1;1]$

[mbistato]

L'esercizio mi chiede di trovare il dominio della trasformazione Y=g(X). Se non ho capito male devo trovare i valori che può assumere la variabile X, e quindi [0,1]. Mentre se mi chiede il codominio, devo prendere i valori che assume la Y e quindi [-1,0]. Non è così?
Ma mi sorge un altro dubbio in questo caso particolare:

Sia $X \sim U[-5,-1]$ e sia $g(x)$ la seguente trasformazione:
$$g(x)=\begin{cases}
1-\frac{x^2}{4} & |x|<=2\\
0 & altrimenti\end{cases}$$

E' corretto dire che il dominio di Y=g(X) è [-2,2] e il codominio è [0,1]?

[Lo_zio_Tom]

"mbistato":L'esercizio mi chiede di trovare il dominio della trasformazione Y=g(X). Se non ho capito male devo trovare i valori che può assumere la variabile X, e quindi [0,1]. Mentre se mi chiede[strike]il codominio[/strike] l'immagine, devo prendere i valori che assume la Y e quindi [-1,0]. Non è così?

Sì è così, e mi sembra evidente sia dal grafico che ti ho messo che dai conti relativi alla densità trasformata

"mbistato":
Ma mi sorge un altro dubbio in questo caso particolare:

Sia $X \sim U[-5,-1]$ e sia $g(x)$ la seguente trasformazione:
$$g(x)=\begin{cases}
1-\frac{x^2}{4} & |x|<=2\\
0 & altrimenti\end{cases}$$

E' corretto dire che il dominio di Y=g(X) è [-2,2] e [strike]il codominio[/strike] l'immagine è [0,1]?

No, questo è un caso diverso....per trovare il supporto di Y (ovvero l'immagine di $g(x)$) devi tener conto anche del supporto di X

Problema più interessante sarebbe calcolare tutta la densità di Y....

[mbistato]

Infatti ho anche trovato la pdf di Y applicando il teorema della probabilità totale per le CDF. Prima di tutto, però, ho notato che poichè $X\sim U[-5,-1]$ la sua pdf è:

$$f_X(x)=\begin{cases}
\frac{1}{4} & x\in[-5,-1]\\
0 & altrove\end{cases}$$

Considerando $X\in[-5,-1]\cap [-2,2]=[-2,-1]$, dal grafico si vede che g(x) è non decrescente:



e si ha:

se $x=-2\ \Rightarrow\ y=1-\frac{4}{4}=0$
se $x=-1\ \Rightarrow\ y=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$

Quindi posso dire che il supporto di Y è [0,3/4]?

Applico il teorema sopra menzionato distinguendo 3 casi:

1)Calcolo i valori di y per i quali l'equazione $y=1-\frac{x^2}{4}$ non ha soluzioni per $x\in[-2,-1]$. Dal calcolo precedente si ha che tali valori li ottengo per $y<0\ \vee y>\frac{3}{4}$. Per questi valori di y quindi, $f_Y(y)=0$.

2)Considero i valori di y per cui g(x) è costante, ossia y=0 per x<-2 e x>2. In corrispondenza di tale valore ho una delta di Dirac e la pdf di Y ivi calcolata è:

$$f_Y(0)=P(Y=0)*\delta(y-0)+c(y)$$

dove $P(Y=0)=P(X<-2\ \vee\ X>2)=P(-5
$c(y)=-2\sqrt(1-y)$, ovvero l'espressione di x che ottengo dall'equazione $y=1-\frac{x^2}{4},\ x\in[-2,-1]$.

3) Infine calcolo tutte le soluzioni di $y=1-\frac{x^2}{4}$ per $y\in]0,\frac{3}{4}]$ ottenendo:

$$x_1=-2\sqrt{(1-y)},\ \ x_2=2\sqrt{(1-y)}$$

Per il teorema, si ha che:

$$f_Y(y)=\frac{f_X(x_1)}{|g'(x_1)|}+\frac{f_X(x_2)}{|g'(x_2)|}=\frac{1}{2\sqrt{1-y}}$$

Dunque, in definitiva ho:

$$f_Y(y)=\begin{cases}
0 & y<0\ \vee y>\frac{3}{4}\\
\frac{3}{4}\delta(y)-2\sqrt{1-y} & y=0\\
\frac{1}{2\sqrt{1-y}} & 0

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[Lo_zio_Tom]

Il ragionamento è corretto ma nei tuoi calcoli c'è qualche errore (Come del resto anche nei miei precedenti e frettolosi che ora ho rimosso)

In $y=0$ la $f(y)$ concentra massa di probabilità pari a $3/4$, essendo $P (Y=0)=P(-5
e quindi viene così:

$f(y)-={{: ( 3/4 , if y=0 ),( 1/(4sqrt(1-y)) , if 0
come l'hai scritta tu hai una $f(y)$ negativa in $y=0$

Per fare i conti è sufficiente osservare quanta massa di probabilità è concentrata in $y=0$ mentre per la parte restante è una semplice trasformazione monotona. Per calcolarla puoi scegliere una qualunque delle due soluzioni $x_i $tanto poi la derivata è in valore assoluto

[mbistato]

Ho ricontrollato i miei calcoli e non mi sembra ci siano errori. Piuttosto non capisco perchè non metti la delta di dirac e la parte regolare $c(y)$. Io ho basato il mio procedimento su alcune slide di un prof che se vuoi ti mostro.

Buon giro in moto

[Lo_zio_Tom]

No non mostrarmi nulla. Per risolvere questo genere di trasformazioni esistono numerosi e differenti metodi ma alla fine il risultato deve essere lo stesso e deve essere coerente. Quindi senza nulla togliere al metodo che ti hanno spiegato, probabilmente lo avrai applicato male perché i conti non tornano. Per esperienza personale, io delle Slide non mi fido mai ma consulto sempre i testi originali

Basta che provi ad integrare la densità e te ne accorgi da solo...oltre al fatto che ti ho già sottolineato che trovi una densità negativa in un punto

La mia ti assicuro essere corretta ed ora te lo dimostro.

A tal proposito, invece che utilizzare dei teoremi, utilizziamo solo la definizione di Funzione di Ripartizione.

I dati del problema sono i seguenti:

$f(x)=1/4$ ; $-5
$F_X(x)=(x+5)/4$

la funzione di trasformazione è costante (nulla) in $-5
Intanto è evidente che $F(y)=0$ per $y<0$

Quindi la $F_(Y)(y)=P(Y<=y)=P(-5
Invece per $y>0$ abbiamo che $F_(Y)(y)=P(Y<=y)=P(X<=-2sqrt(1-y))=F_(X)(-2sqrt(1-y))=(5-2sqrt(1-y))/4$

Con questa espressione della $F_(Y)$ è immediato verificare la correttezza dell'esercizio perché basta verificare le proprietà caratterizzanti della $F_(Y)$

1) $d/(dy)F>=0 AAy$

2) $F_(Y)(+oo)=F(3/4)=1$

mentre 3) $F_(Y)(-oo)=F(0)=3/4 !=0$ ed è corretto proprio perché la funzione in esame non è continua ma è di tipo misto, e in $y=0$ concentra tutta la massa di probabilità che la $X$ distribuisce nell'intervallo $[-5;-2]$ ovvero proprio $3/4$



Calcola anche tu la tua Funzione di Ripartizione e vedi se le proprietà caratterizzanti sono soddisfatte...vedrai che non è così.

A questo punto, per trovare la densità in $y=0$ occorre fare $f(y)=F_(Y)(0)-F_(Y)(0^-)=3/4$

mentre per il resto del dominio basta derivare la $F_Y$ ottenendo $f_(Y)(y)=1/(4sqrt(1-y))$

Come puoi notare ho trovato lo stesso risultato con due metodi differenti...oltretutto il metodo della definizione di Funzione di Ripartizione è giusto per forza....dato che si basa sulla definizione
Tra l'altro quando i problemi si complicheranno questo è l'unico metodo davvero utilizzabile sempre...

Se non ti è chiaro consultati con il docente

ciao

[Lo_zio_Tom]

e comunque qui al capitolo IV trovi lo stesso metodo che ti ha spiegato il docente e porta agli stessi risultati che ti ho indicato io.

Moltiplicare la funzione per $delta(y)$ è alternativo a scrivere if $y=0$ essendo

$delta(y)-={{: ( 1 , ;if y=0 ),( 0 ,; a l t r o v e ) :}$

ed inoltre

$(f(x))/(|g'(x)|)=1/(4sqrt(1-y))$ essendo

$f(x)=1/4$

$y=1-x^2/4 rarr |y'|=x/2$ e $x=2sqrt(1-y)$

ovviamente, anche se invertendo la funzione trovi due soluzioni, non devi sommare entrambe le derivate perché la trasfornazione è monotona.

Utilizzando la notazione del tuo docente ottieni:

$f_(Y)(y)=3/4 delta(y)+1/(4sqrt(1-y))I_((0;3/4])(y)$

che è la stessa cosa che ho scritto io ma scritta in maniera compatta

ora dovrebbe essere tutto chiarito

ciao

[mbistato]

Sicuramente molto più semplice utilizzando la definizione di funzione di ripartizione, ma comunque interessante conoscere anche l'altro metodo alternativo. Adesso mi è tutto chiaro

[Lo_zio_Tom]

L"unico vero metodo è quello basato sulla definizione di CDF. L'altro (di cui ne esistono diverse versioni) è semplicemente il riassunto di alcuni casi particolari del primo. Di conseguenza è meglio (almeno inizialmente) utilizzare il metodo che ti ho mostrato per prendere confidenza con le problematiche che si possono presentare nel trasformare la variabile aleatoria e solo successivamente utilizzare il metodo "ridotto" per ricavare direttamente la densità.
In questa stanza ho risolto e commentato centinaia di esempi sulle trasformazioni di variabile che ti saranno sicuramente utili.

Per ogni esigenza siamo qui....