Funzione di densità di probabilità
Buonasera, mi aiutate con questo esercizio: Un numero aleatorio X ha distribuzione come in figura, defetrminare la densità di probabilità di $Y =|X|$
Ho risolto con il fatto che:
$ X ~ U(a,b)$
quindi
$f_X(x)=1/(b-a)$
quindi:
$f_Y(y)=1/2 $ se $y\in[1,3]$
Giusto? Anche se non penso perchè poi questa non la $Y =|X|$
Ho risolto con il fatto che:
$ X ~ U(a,b)$
quindi
$f_X(x)=1/(b-a)$
quindi:
$f_Y(y)=1/2 $ se $y\in[1,3]$
Giusto? Anche se non penso perchè poi questa non la $Y =|X|$
Risposte
Il risultato è giusto ma non capisco assolutamente il procedimento adottato. Ad ogni modo uno dei procedimenti corretti è il seguente
$F_Y(y)=\mathbb(P)(Y<=y)=\mathbb(P)(|X|<=y)=\mathbb(P)((-y<=X<=y)=F_X(y)-F_X(1)+F_X(-1)-F_X(-y)=$
$=1/2+(y-1)/4-1/2+1/2-(3-y)/4=(y-1)/2$
da cui
$F_Y(y)=\mathbb(P)(Y<=y)=\mathbb(P)(|X|<=y)=\mathbb(P)((-y<=X<=y)=F_X(y)-F_X(1)+F_X(-1)-F_X(-y)=$
$=1/2+(y-1)/4-1/2+1/2-(3-y)/4=(y-1)/2$
da cui
$f_Y(y)=d/(dy)F_Y(y)=1/2\cdot \mathbb(I)_([1;3])(y)$
"tommik":
Il risultato è giusto ma non capisco assolutamente il procedimento adottato. Ad ogni modo uno dei procedimenti corretti è il seguente
$F_Y(y)=\mathbb(P)(Y<=y)=\mathbb(P)(|X|<=y)=\mathbb(P)((-y<=X<=y)=F_X(y)-F_X(1)+F_X(-1)-F_X(-y)=$
$=1/2+(y-1)/4-1/2+1/2-(3-y)/4=(y-1)/2$
da cui
$f_Y(y)=d/(dy)F_Y(y)=1/2\cdot \mathbb(I)_([1;3])(y)$
Perché $1/2$ qui $=1/2+(y-1)/4-1/2+1/2-(3-y)/4=(y-1)/2$?
Non mi pare di aver scritto che $1/2=(y-1)/2$
Ho dapprima calcolato $F_Y(y)=(y-1)/2$ così[nota]piu precisamente la CDF di $Y$ risulta
dato che la CDF è definita SEMPRE su tutto l'asse reale[/nota]:
osservando il disegno della trasformazione (che sicuramente avrai fatto anche tu, dato che non si può risolvere un problema del genere senza aver chiaro in mente in che intervalli andare ad integrare)
risulta chiaro quale sia la soluzione....ovvio che devi partire dalla CDF di X che è la seguente
poi una volta calcolata $F_Y$ ho derivato trovando la densità. Tu invece come sei arrivata al risultato? Non hai postato alcun conto, come sei arrivata a dimostrare che $Y$ è ancora uniforme? Si può fare ma vorrei vedere come lo hai provato...
Ho dapprima calcolato $F_Y(y)=(y-1)/2$ così[nota]piu precisamente la CDF di $Y$ risulta
$F_Y(y)=(y-1)/2\cdot\mathbb(I)_([1;3))(y)+\mathbb(I)_([3;+oo))(y)$
dato che la CDF è definita SEMPRE su tutto l'asse reale[/nota]:
osservando il disegno della trasformazione (che sicuramente avrai fatto anche tu, dato che non si può risolvere un problema del genere senza aver chiaro in mente in che intervalli andare ad integrare)
risulta chiaro quale sia la soluzione....ovvio che devi partire dalla CDF di X che è la seguente
$F_X(x)={{: ( 0 , ;x<-3 ),( (x+3)/4 ,;-3<=x<-1 ),( 1/2 , ;-1<=x<1 ),( 1/2+(x-1)/4 , ;1<=x<3 ),( 1, ;x>=3 ) :}$
poi una volta calcolata $F_Y$ ho derivato trovando la densità. Tu invece come sei arrivata al risultato? Non hai postato alcun conto, come sei arrivata a dimostrare che $Y$ è ancora uniforme? Si può fare ma vorrei vedere come lo hai provato...
Per fugare altri dubbi è semplice: fai lo stesso esercizio partendo da questa densità.
qui la $X$ non è più uniforme e quindi sei costretta a fare i conti...
qui la $X$ non è più uniforme e quindi sei costretta a fare i conti...
Ciao tommi vorrei provare a risolvere io questo esercizio che hai postato al OM ma prima vorrei capire qualcosa in più su queste uniformi.
Nel calcolo di $F_X$ nel intervallo di $-3<=x<-1$ (perchè non mettiamo $<=1$?) io applicando la definizione di funzione di ripartizione ho $F_X=P(X<=x)=\int_-infty^x 1/(-3+1) dt=(t-3)/2$
quindi in $-1<=x<1$ sarebbe la somma della CDF calcolata fino a questo momento in $-1$ più la nuova che in questo caso è 0 e così via.
Solo che facendo cosi non torna con quella trovata da te. Dove si blocca il mio ragionamento?
Nel calcolo di $F_X$ nel intervallo di $-3<=x<-1$ (perchè non mettiamo $<=1$?) io applicando la definizione di funzione di ripartizione ho $F_X=P(X<=x)=\int_-infty^x 1/(-3+1) dt=(t-3)/2$
quindi in $-1<=x<1$ sarebbe la somma della CDF calcolata fino a questo momento in $-1$ più la nuova che in questo caso è 0 e così via.
Solo che facendo cosi non torna con quella trovata da te. Dove si blocca il mio ragionamento?
Non mi pare di aver capito bene la domanda....
La $X$ è uniforme negli intervalli dati, quindi la sua pdf è
$f_X(x)=1/4[\mathbb{1}_{(-3;-1)}+\mathbb{1}_{(1;3)}]$
quindi la sua CDF nell'intervallo che hai detto tu è
$F_X(x)=int_(-3)^x 1/4 dt=(x+3)/4$
poi nell'intervallo $(-1;1)$ essa è costante, pari a $F_X(-1)=0.5$ perché lì si integra una densità =0[nota]non è che adesso ci mettiamo ad integrare zero in un certo intervallo eh...[/nota] eccetera...
nel tuo integrale hai messo addirittura un'integranda negativa
mi spieghi cosa vuol dire? E' una cosa senza alcun senso.....le densità non possono mai essere negative.
La $X$ è uniforme negli intervalli dati, quindi la sua pdf è
$f_X(x)=1/4[\mathbb{1}_{(-3;-1)}+\mathbb{1}_{(1;3)}]$
quindi la sua CDF nell'intervallo che hai detto tu è
$F_X(x)=int_(-3)^x 1/4 dt=(x+3)/4$
poi nell'intervallo $(-1;1)$ essa è costante, pari a $F_X(-1)=0.5$ perché lì si integra una densità =0[nota]non è che adesso ci mettiamo ad integrare zero in un certo intervallo eh...[/nota] eccetera...
nel tuo integrale hai messo addirittura un'integranda negativa
mi spieghi cosa vuol dire? E' una cosa senza alcun senso.....le densità non possono mai essere negative.
Ecco uno dei miei capricci confusionali che ho su questo argomento 
In pratica cerco di spiegarmi dove sbagliavo
dato un generico intervallo $ [a,b]$ la $f(x)=1/(b-a)$ quindi nel nostro caso posto a=-1e b=-3 ho ottenuto quella $f(x)$ e poi il resto nell'integrale(mettendo negli estremi di integrazione basso il termine piu piccolo e in quello alto la generica x)
In pratica cerco di spiegarmi dove sbagliavo
dato un generico intervallo $ [a,b]$ la $f(x)=1/(b-a)$ quindi nel nostro caso posto a=-1e b=-3 ho ottenuto quella $f(x)$ e poi il resto nell'integrale(mettendo negli estremi di integrazione basso il termine piu piccolo e in quello alto la generica x)
"shadow88":
dato un generico intervallo $ [a,b]$ ...posto a=-1e b=-3
E non $a=-3$, $b=-1$?
"ghira":
[quote="shadow88"]
dato un generico intervallo $ [a,b]$ ...posto a=-1e b=-3
E non $a=-3$, $b=-1$?[/quote]
ma anche in questo caso non riesco a farmi uscire il termine $1/4$
cazzarola....la densità è uniforme. quindi l'altezza dei due rettangoli è un numero tale per cui l'area totale venga 1
la base totale è 4...quanto sarà l'altezza per avere area 1? forse $1/4$?
la base totale è 4...quanto sarà l'altezza per avere area 1? forse $1/4$?
Ok questa diciamo è un interpretazione geometrica. Però perchè non raggiungo la stessa cosa con la formula $1/(b-a)$ che ti dicevo prima. Perchè mi viene il doppio in pratica. Io come ho detto sono abituato a studiarla in quel modo. Divido in piu intervalli. Poi studio mano mano la funzione in questi intervalli e nel primo intervallo $-3<=x<-1$ trovo la $f(x)=1/(b-a)$ . Chiedo scusa se sto ponendo domande forse stupide e banali,ma vorrei capire bene l'argomento
$1/(b-a)$ è il RISULTATO di un integrale. quindi nel tuo caso avrai
$f_X(x)=c$ nell'intervallo specificato e zero altrove.
Problema: Calcolare $c$
Pronti:
$int_(-3)^(-1)dt+int_1^3dt=1/c$
$2+2=1/c$
$c=1/4$
fine.
OPPURE:
$f_X(x)=1/(b-a)$
dove $b-a$ è l'ampiezza dellintervallo, quindi
$f_X(x)=1/((3-1)+(-1-(-3)))=1/(2+2)=1/4$
va bene così oppure è necessario specificare che, se l'intervallo è formato da due intervalli disgiunti allora la formuletta va modificata in
$f_X(x)=1/((b_2-a_2)+(b_1-a_1))$
ora poi avrai il caso in cui gli intervalli disgiunti sono 3....allora dobbiamo trovare un'altra formula?
mi permetto di osservare che il calcolo geometrico è molto ma molto più importante del semplice integrale perché di dà una prova fisica e visiva della correttezza della soluzione....non è una soluzione di ripiego.
Se vuoi dimostrare perché la varianza non può mai essere negativa, puoi usare la disuguaglianza di Jensen ma devi poi provare quella oppure fidarti ed invocare tale teorema. Se riesci a spiegare al prof che la varianza è una funzione di distanza (geometricamente) allora hai fatto un passo in più...perché mica puoi avere un distanza negativa... ecc ecc
$f_X(x)=c$ nell'intervallo specificato e zero altrove.
Problema: Calcolare $c$
Pronti:
$int_(-3)^(-1)dt+int_1^3dt=1/c$
$2+2=1/c$
$c=1/4$
fine.
OPPURE:
$f_X(x)=1/(b-a)$
dove $b-a$ è l'ampiezza dellintervallo, quindi
$f_X(x)=1/((3-1)+(-1-(-3)))=1/(2+2)=1/4$
va bene così oppure è necessario specificare che, se l'intervallo è formato da due intervalli disgiunti allora la formuletta va modificata in
$f_X(x)=1/((b_2-a_2)+(b_1-a_1))$
ora poi avrai il caso in cui gli intervalli disgiunti sono 3....allora dobbiamo trovare un'altra formula?
mi permetto di osservare che il calcolo geometrico è molto ma molto più importante del semplice integrale perché di dà una prova fisica e visiva della correttezza della soluzione....non è una soluzione di ripiego.
Se vuoi dimostrare perché la varianza non può mai essere negativa, puoi usare la disuguaglianza di Jensen ma devi poi provare quella oppure fidarti ed invocare tale teorema. Se riesci a spiegare al prof che la varianza è una funzione di distanza (geometricamente) allora hai fatto un passo in più...perché mica puoi avere un distanza negativa... ecc ecc
ok ci sono sicuramente di più.
Provo a fare l'esercizio che hai proposto all'utente
trovo inizialmente la cdf e poi pdf
$\f(x)={(0,if x<=-3),(x/2,if -33) :}$
$\F_X={(0,if x<=-3), ((x^2-9)/4,if -3<=x<=-1) ,(0,if -1=3) :}$
dopo di che procedo con la definizione come svolto precedentemente giusto?
Provo a fare l'esercizio che hai proposto all'utente
trovo inizialmente la cdf e poi pdf
$\f(x)={(0,if x<=-3),(x/2,if -3
$\F_X={(0,if x<=-3), ((x^2-9)/4,if -3<=x<=-1) ,(0,if -1
dopo di che procedo con la definizione come svolto precedentemente giusto?
l'esercizio sarebbe questo?
Non l'ho risolto, fallo che poi lo controllo. Comunque sì, il procedimento è sempre lo stesso.
Non l'ho risolto, fallo che poi lo controllo. Comunque sì, il procedimento è sempre lo stesso.
ok ci sono sicuramente di più.
Provo a fare l'esercizio che hai proposto all'utente
trovo inizialmente la cdf e poi pdf
$\f(x)={(0,if x<=-3),(x/2,if -33) :}$
$\F_X={(0,if x<=-3), ((x^2-9)/4,if -3<=x<=-1) ,(0,if -1=3) :}$
dopo di che procedo con la definizione come svolto precedentemente giusto?
quindi
$F_Y(y)=P(Y<=y)=P(|X|<=y)=P(-X<=Y<=X)=F_X(y)-F_X(-y)=(y^2-9)/4 +(y^2-9)/4$
dopo di che derivo
$f(y)=y$
Provo a fare l'esercizio che hai proposto all'utente
trovo inizialmente la cdf e poi pdf
$\f(x)={(0,if x<=-3),(x/2,if -3
$\F_X={(0,if x<=-3), ((x^2-9)/4,if -3<=x<=-1) ,(0,if -1
dopo di che procedo con la definizione come svolto precedentemente giusto?
quindi
$F_Y(y)=P(Y<=y)=P(|X|<=y)=P(-X<=Y<=X)=F_X(y)-F_X(-y)=(y^2-9)/4 +(y^2-9)/4$
dopo di che derivo
$f(y)=y$
scusa eh ma mi stai prendendo in giro? oppure hai studiato troppo e sei totalmente fuori fase?
Una densità deve sempre essere positiva.....ti ho fatto un grafico con due segmenti di retta...per calcolare la densità occorre calcolare analiticamente le rette in questione...e non mi pare siano $y=x/2$ ecc ecc...lì viene tutto negativo....sei capace di calcolare la retta che passa per due punti assegnati, immagino...
...oppure più semplicemente, geometricamente, basta osservare che il rapporto dei cateti di triangoli rettangoli simili è costante...ricavi le equazioni delle rette senza passare per la formula (che magari non ricordi e che quindi dovresti riprendere dal libro delle superiori)
e quindi sempicemente
$0.5/2=y/(3-x) rarr y=3/4-x/4$
per il segmento dove $x>0$...l'altra è simmetrica quindi ce l'hai immediatamente senza conti.
Una densità deve sempre essere positiva.....ti ho fatto un grafico con due segmenti di retta...per calcolare la densità occorre calcolare analiticamente le rette in questione...e non mi pare siano $y=x/2$ ecc ecc...lì viene tutto negativo....sei capace di calcolare la retta che passa per due punti assegnati, immagino...
...oppure più semplicemente, geometricamente, basta osservare che il rapporto dei cateti di triangoli rettangoli simili è costante...ricavi le equazioni delle rette senza passare per la formula (che magari non ricordi e che quindi dovresti riprendere dal libro delle superiori)
e quindi sempicemente
$0.5/2=y/(3-x) rarr y=3/4-x/4$
per il segmento dove $x>0$...l'altra è simmetrica quindi ce l'hai immediatamente senza conti.
Non era mia intenzione offenderti in alcun modo.Ci tengo a precisare. Anzi non smetterò mai di ringraziarti.
Nel calcolo della PDF(anche se sbagliata per questo errore sciocco e grave) non ho considerato i salti nei punti di discontinuità. Almeno questo è stato indovinato?
Penso che debba fare una pausa. Scusami davvero se ti sei sentito toccato
Nel calcolo della PDF(anche se sbagliata per questo errore sciocco e grave) non ho considerato i salti nei punti di discontinuità. Almeno questo è stato indovinato?
Penso che debba fare una pausa. Scusami davvero se ti sei sentito toccato
stavo scherzando dai... era per darti uno stimolo ad evitare di scrivere simili fesserie...
"shadow88":
$\F_X= (18/4,if x>=3) $
Davvero?
fesserie come quella evidenziata da @ghira...ma ce ne sono molte altre in quella risposta.
Per carità, tutti possono sbagliare ma l'importante è capire cosa si sta facendo.
1) Ti viene che la funzione di ripartizione arriva a $18/4=4.5$...non ti chiedi cosa voglia dire?
2) ti viene una densità che è negativa....ti chiedi che senso abbia ciò?
Es: fai la media (non necessariamente la media aritmetica) di ${1,3,5,7}$ e ti viene 21. Cosa fai, posti il risultato e chiedi al forum se va bene? Qui è più o meno la stessa cosa
Per carità, tutti possono sbagliare ma l'importante è capire cosa si sta facendo.
1) Ti viene che la funzione di ripartizione arriva a $18/4=4.5$...non ti chiedi cosa voglia dire?
2) ti viene una densità che è negativa....ti chiedi che senso abbia ciò?
Es: fai la media (non necessariamente la media aritmetica) di ${1,3,5,7}$ e ti viene 21. Cosa fai, posti il risultato e chiedi al forum se va bene? Qui è più o meno la stessa cosa
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