Funzione di densità composta
Salve, ho questo problema:
Siano \(\displaystyle X \) e \(\displaystyle Y \) variabili aleatorie indipendenti di tipo esponenziale di parametri rispettivamente \(\displaystyle \alpha \) e \(\displaystyle \beta \).
Si chiede di calcolare la funzione di densità di \(\displaystyle Z = X - Y \).
Allora, io ho pensato di procedere in questa maniera:
Vista l'indipendenza delle due v.a. posso ottenere la funzione di densità congiunta semplicemente moltiplicando le loro funzioni di densità.
\(\displaystyle f_{XY}(x,y) = f_{X}(x)f_{Y}(y) \)
Visto che le vc sono esponenziali, le loro funzioni di densità sono note, quindi:
\(\displaystyle f_{XY}(x,y) = \alpha \beta e^{-(\alpha x + \beta y)} \)
Il testo mi chiede di trovare la funzione di densità di Z, allora prima trovo la funzione di distribuzione di probabilità di Z e poi la derivo per trovarne la funzione di densità.
\(\displaystyle F_{Z}(a) = P(Z \leqq a) = P(X - Y \leqq a) \)
Mi ritrovo ad avere 2 casi, se \(\displaystyle a >0 \) o \(\displaystyle a <0 \).
Una volta disegnati i due casi parto dal primo, se a > 0.
E da qui in poi, non so come andare avanti.
Innanzitutto correggetemi se ho scritto qualcosa di poco sensato.
Ciò che ho provato a fare dopo è integrare la funzione di densità congiunta sul nuovo dominio (per a > 0), solo che mi ritrovo ad avere la funzione che diverge e quindi è errato.
Siano \(\displaystyle X \) e \(\displaystyle Y \) variabili aleatorie indipendenti di tipo esponenziale di parametri rispettivamente \(\displaystyle \alpha \) e \(\displaystyle \beta \).
Si chiede di calcolare la funzione di densità di \(\displaystyle Z = X - Y \).
Allora, io ho pensato di procedere in questa maniera:
Vista l'indipendenza delle due v.a. posso ottenere la funzione di densità congiunta semplicemente moltiplicando le loro funzioni di densità.
\(\displaystyle f_{XY}(x,y) = f_{X}(x)f_{Y}(y) \)
Visto che le vc sono esponenziali, le loro funzioni di densità sono note, quindi:
\(\displaystyle f_{XY}(x,y) = \alpha \beta e^{-(\alpha x + \beta y)} \)
Il testo mi chiede di trovare la funzione di densità di Z, allora prima trovo la funzione di distribuzione di probabilità di Z e poi la derivo per trovarne la funzione di densità.
\(\displaystyle F_{Z}(a) = P(Z \leqq a) = P(X - Y \leqq a) \)
Mi ritrovo ad avere 2 casi, se \(\displaystyle a >0 \) o \(\displaystyle a <0 \).
Una volta disegnati i due casi parto dal primo, se a > 0.
E da qui in poi, non so come andare avanti.
Innanzitutto correggetemi se ho scritto qualcosa di poco sensato.
Ciò che ho provato a fare dopo è integrare la funzione di densità congiunta sul nuovo dominio (per a > 0), solo che mi ritrovo ad avere la funzione che diverge e quindi è errato.
Risposte
La formula di convoluzione non l'avete fatta? E' quella che fornisce la densità della somma (o della differenza) di due variabili indipendenti di cui si conoscono le rispettive densità.
Si, hai ragione sul fato che potrei utilizzare il prodotto di convoluzione, infatti così il problema l'ho risolto.
Ma ora mi sorge un dubbio: il procedimento che ho adottato (l'impostazione mentale che ho descritto prima) ha senso oppure è una strada che non è applicabile?
Perché risolvendo l'integrale doppio mi ritrovo ad avere l'integrale che mi diverge. Quindi c'è un errore, ma spero che sia nei calcoli e non nell'impostazione mentale
Ma ora mi sorge un dubbio: il procedimento che ho adottato (l'impostazione mentale che ho descritto prima) ha senso oppure è una strada che non è applicabile?
Perché risolvendo l'integrale doppio mi ritrovo ad avere l'integrale che mi diverge. Quindi c'è un errore, ma spero che sia nei calcoli e non nell'impostazione mentale
Il modo di procedere mi sembra giusto, ma per fare l'integrale penso che si debba stare bene attenti al supporto della funzione da integrare (dove è positiva e dove è nulla) e credo che non sia difficile sbagliare qualche conto... Se hai tempo/voglia potresti scrivere i tuoi passaggi...
Ci avevo pensato anche io, infatti sapendo che le due vc sono esponenziali ho supposto che non potessero mai avere valori negativi, quindi gli integrali avevano entrambi come estremo inferiore 0 e come estremo superiore: per la variazione della y, andava da 0 a più infinito, per la variazione della y, andava da 0 a y-a.
(Scusa se non scrivo le formule in latex ma sono di sfuggita, magari sta sera scrivo i passaggi completi)
(Scusa se non scrivo le formule in latex ma sono di sfuggita, magari sta sera scrivo i passaggi completi)
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