Funzione degli errori
Ciao a tutti, colgo l'occasione per presentarmi e salutarvi.
Sono Giovanni e frequento il corso di Ingegneria dell'Informazione.
Il problema è relativo alla trattazione della funzione degli errori.
In particolare, risolvendo un esercizio, il quale richiede di calcolare la probabilità che $X^2+Y^2+Z^2 < 1$, dove X, Y e Z hanno distribuzione normale standard.
Risolvendo l'integrale in coordinate sferiche arrivo qui:
$ \sqrt{2/\pi}*\int_{0}^{1} e^-(x^2/2)x^2dx $
Risolvendo per parti, non riesco a giungere a niente di buono, potreste illuminarmi?
Come devo trattare la function error che ne dovrebbe risultare?
Grazie a tutti per l'aiuto.
Sono Giovanni e frequento il corso di Ingegneria dell'Informazione.
Il problema è relativo alla trattazione della funzione degli errori.
In particolare, risolvendo un esercizio, il quale richiede di calcolare la probabilità che $X^2+Y^2+Z^2 < 1$, dove X, Y e Z hanno distribuzione normale standard.
Risolvendo l'integrale in coordinate sferiche arrivo qui:
$ \sqrt{2/\pi}*\int_{0}^{1} e^-(x^2/2)x^2dx $
Risolvendo per parti, non riesco a giungere a niente di buono, potreste illuminarmi?
Come devo trattare la function error che ne dovrebbe risultare?
Grazie a tutti per l'aiuto.
Risposte
nel testo manca un'informazione fondamentale...che le 3 normali std siano indipendenti...ciò premesso, qual è la definizione di distribuzione chi-quadro?
Se invece le variabili X,Y,Z non fossero indipendenti, allora servirebbero ulteriori informazioni circa la loro correlazione
PS: ti ho anche sistemato la formula, così si legge meglio....
Se invece le variabili X,Y,Z non fossero indipendenti, allora servirebbero ulteriori informazioni circa la loro correlazione
PS: ti ho anche sistemato la formula, così si legge meglio....
Si ho dimenticato di scriverlo, le 3 normali sono indipendenti.
Il mio prof, che io ricordi, non ha fatto nessun cenno alla distribuzione chi-quadro.
Purtroppo la materia è stata spiegata, studiata e capita male a livello teorico.
Sarebbe opportuno un ragionamento quanto più terra terra possibile.
Il mio prof, che io ricordi, non ha fatto nessun cenno alla distribuzione chi-quadro.
Purtroppo la materia è stata spiegata, studiata e capita male a livello teorico.
Sarebbe opportuno un ragionamento quanto più terra terra possibile.
il modo più semplice di risolvere la questione è appunto ricordare (e di facile dimostrazione) che la somma di $n$ normali STD indipendenti al quadrato è appunto distribuita come una chi-quadrato con $n$ gradi di libertà
a questo punto, posto $W=X^2+Y^2+Z^2$
basta calcolare $P(W<1)$ utilizzando le tavole della chi-quadro in corrispondenza di 3 gdl
Il risultato lo leggi sopra, cerchiato: 0.2, ovvero 20%
Oppure con un calcolatore, basta anche Excel, che porta al risultato esatto di 19.875% (sempre arrotondato)
a questo punto, posto $W=X^2+Y^2+Z^2$
basta calcolare $P(W<1)$ utilizzando le tavole della chi-quadro in corrispondenza di 3 gdl
Il risultato lo leggi sopra, cerchiato: 0.2, ovvero 20%
Oppure con un calcolatore, basta anche Excel, che porta al risultato esatto di 19.875% (sempre arrotondato)
Ok, ma matematicamente come si dovrebbe risolvere tale integrale?
posto la soluzione proposta dal professore, https://imgur.com/LXNv63F
posto la soluzione proposta dal professore, https://imgur.com/LXNv63F
ti faccio presente che il forum non è il luogo per spiegarti le soluzioni nel modo che desideri ma, al contrario, un luogo dove si "discutono" diversi approcci...penso quindi che dovresti far tesoro di consigli e metodi utili alla tua formazione.
Tornando alla soluzione del prof onestamente non vedo cosa ci sia da spiegare, ha fatto un cambio di variabili e successivamente integrato per parti.
Una volta corretto un evidente refuso, dato che viene $e^(-1/2)$ e non $e^(-1)$ come indicato alla fine della soluzione, il risultato coincide con quello che ti ho indicato
Comunque, per integrare la funzione da cui sei partito, basta fare così:
$2/sqrt(2pi)int_(0)^(1)t*te^(-t^2/2)dt=2/sqrt(2pi){-te^(-t^2/2)]_(0)^(1)-int_(0)^(1)-e^(-t^2/2)dt}=$
$=2{-1/sqrt(2pi)e^(-1/2)+Phi(1)-Phi(0)}=2[-1/sqrt(2pi)e^(-1/2)+Phi(1)-1/2]~~ 0.19875$
saluti
Tornando alla soluzione del prof onestamente non vedo cosa ci sia da spiegare, ha fatto un cambio di variabili e successivamente integrato per parti.
Una volta corretto un evidente refuso, dato che viene $e^(-1/2)$ e non $e^(-1)$ come indicato alla fine della soluzione, il risultato coincide con quello che ti ho indicato
Comunque, per integrare la funzione da cui sei partito, basta fare così:
$2/sqrt(2pi)int_(0)^(1)t*te^(-t^2/2)dt=2/sqrt(2pi){-te^(-t^2/2)]_(0)^(1)-int_(0)^(1)-e^(-t^2/2)dt}=$
$=2{-1/sqrt(2pi)e^(-1/2)+Phi(1)-Phi(0)}=2[-1/sqrt(2pi)e^(-1/2)+Phi(1)-1/2]~~ 0.19875$
saluti
Grazie mille!
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