Funzione caratteristica VS generatrice di momenti
Premetto che non ricordo molto di questo argomento. Però ricordo che la fc derivata mi dà i momenti della mia VA, a meno di qualche potenza di i. La fgm invece derivata mi dà i momenti, senza la i, perché reale.
Mi sembra quasi che siano la stessa cosa, una reale e l'altra complessa.
Mi chiedo: che differenze ci sono tra le due? E perché dovrei usare quella complessa quando ne esiste una che fa lo stesso lavoro ma reale?
Grazie a chi mi illumina
Mi sembra quasi che siano la stessa cosa, una reale e l'altra complessa.
Mi chiedo: che differenze ci sono tra le due? E perché dovrei usare quella complessa quando ne esiste una che fa lo stesso lavoro ma reale?
Grazie a chi mi illumina
Risposte
Molto sinteticamente e riassuntivamente diciamo che:
il problema è esattamente l'opposto! è dalla funzione caratteristica (caso più generale) che, restringendo il dominio ad $RR$, si trova la $M_X(t)$
La funzione caratteristica $psi_(X)(t): RR rarr CC$ è la Trasformata di Fourier[nota]a meno del fattore $1/(2pi)$; per la precisione è la Trasformata di Fourier Stieltjes[/nota] della densità di probabilità $f(x)$ e, al contario della FGM, esiste sempre (l'integrale che la definisce non diverge mai) per qualsiasi variabile casuale.
La funzione generatrice dei momenti $M_X(t): RR rarr RR$ è invece la Trasformata di Laplace di $f(x)$ ed esiste se l'integrale che la definisce è finito in un intorno di $t=0$
Quindi la domanda va rigirata: perché usare la funzione caratteristica "ristretta" ai reali?
Perché è più comoda e, per calcoli elementari come:
i) Calcolare i momenti di una gaussiana o altra distribuzione nota
ii) Dimostrare che la somma di $n$ chi-quadro indipendenti è ancora una chi-quadro
iii) Dimostrare che la Binomiale converge (al limite) ad una Poisson
basta e avanza....anzi per i calcoli elementari cui viene utilizzata è anche meglio: infatti, a differenza della funzione caratteristica, l'esistenza della $M_X(t)$ garantisce l'esistenza di tutti i momenti della variabile casuale.
Le due funzioni godono di proprietà simili....e dico simili, non identiche.
Sono andato un po' a memoria ma ovviamente puoi trovare tutti i dettagli su qualunque testo elementare di Statistica.
il problema è esattamente l'opposto! è dalla funzione caratteristica (caso più generale) che, restringendo il dominio ad $RR$, si trova la $M_X(t)$
La funzione caratteristica $psi_(X)(t): RR rarr CC$ è la Trasformata di Fourier[nota]a meno del fattore $1/(2pi)$; per la precisione è la Trasformata di Fourier Stieltjes[/nota] della densità di probabilità $f(x)$ e, al contario della FGM, esiste sempre (l'integrale che la definisce non diverge mai) per qualsiasi variabile casuale.
La funzione generatrice dei momenti $M_X(t): RR rarr RR$ è invece la Trasformata di Laplace di $f(x)$ ed esiste se l'integrale che la definisce è finito in un intorno di $t=0$
Quindi la domanda va rigirata: perché usare la funzione caratteristica "ristretta" ai reali?
Perché è più comoda e, per calcoli elementari come:
i) Calcolare i momenti di una gaussiana o altra distribuzione nota
ii) Dimostrare che la somma di $n$ chi-quadro indipendenti è ancora una chi-quadro
iii) Dimostrare che la Binomiale converge (al limite) ad una Poisson
basta e avanza....anzi per i calcoli elementari cui viene utilizzata è anche meglio: infatti, a differenza della funzione caratteristica, l'esistenza della $M_X(t)$ garantisce l'esistenza di tutti i momenti della variabile casuale.
Le due funzioni godono di proprietà simili....e dico simili, non identiche.
Sono andato un po' a memoria ma ovviamente puoi trovare tutti i dettagli su qualunque testo elementare di Statistica.
grazie mille Tommik 
Riprendo questo post perchè chiede esattamente ciò che vorrei sapere anch'io.
Dunque funzione caratteristica e trasformata di Fourier possono considerarsi sinonimi, giusto? Perché così fosse (e da quanto ho capito io lo è), che senso avrebbe voler studiare (cito testualmente) "come è fatta la funzione caratteristica associata alla trasformata di Fourier nel modello di Heston" (ricorrendo, per farlo, alla struttura dei modelli affini)?
"tommik":
La funzione caratteristica $psi_(X)(t): RR rarr CC$ è la Trasformata di Fourier della densità di probabilità $f(x)$
Dunque funzione caratteristica e trasformata di Fourier possono considerarsi sinonimi, giusto? Perché così fosse (e da quanto ho capito io lo è), che senso avrebbe voler studiare (cito testualmente) "come è fatta la funzione caratteristica associata alla trasformata di Fourier nel modello di Heston" (ricorrendo, per farlo, alla struttura dei modelli affini)?
Grazie arnett per la risposta. E non preoccuparti anzi, qualsiasi intervento (anche mezza riga 
) è più che ben accetto!
Temo però di non aver capito cosa intendi... Potresti spiegarti meglio?
) è più che ben accetto!"arnett":
Però stai attento: ci sono una valanga di possibili definizioni di trasformata di Fourier a seconda del nucleo integrale che si utilizza. Mentre siamo tutti d'accordo che il nucleo della funzione caratteristica sia $e^{i\xix}$, le possibilità per la trasformata di Fourier sono diverse. Questo complica le cose.
Temo però di non aver capito cosa intendi... Potresti spiegarti meglio?
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