Funzione caratteristica
Ciao a tutti, ho un nuovo problema con le densità congiunte, questa volta unito alla funzione caratteristica.
Le variabili aleatorie $X\simN(0; 16)$ e $Y\simN(5; 9)$ sono indipendenti. Sia $Z = X+Y$ .
Calcolare:
(a.) la funzione caratteristica congiunta di X, Y, Z;
(b.) la funzione caratteristica congiunta di Y e Z;
(c.) la densità di probabilità di Z.
Quello che non capisco è come definire la v.a. congiunta che poi va trasformata per trovare la funzione caratteristica.
Alla fine quello che si richiede è: $P(X,Y, X+Y)$. Avevo pensato di definire: $W = XYZ$ e quindi avere $\phi(t) = E[e^{itW}] = E[e^{it(X^2Y + Y^2X)}]$
anche se non mi pare abbia senso, senza contare che non calcolarla.. Il problema è proprio capire cosa significa definire la prob congiunta.
Per il secondo quesito il problema è lo stesso, mentre per l' ultimo è banale..
Grazie a tutti
Le variabili aleatorie $X\simN(0; 16)$ e $Y\simN(5; 9)$ sono indipendenti. Sia $Z = X+Y$ .
Calcolare:
(a.) la funzione caratteristica congiunta di X, Y, Z;
(b.) la funzione caratteristica congiunta di Y e Z;
(c.) la densità di probabilità di Z.
Quello che non capisco è come definire la v.a. congiunta che poi va trasformata per trovare la funzione caratteristica.
Alla fine quello che si richiede è: $P(X,Y, X+Y)$. Avevo pensato di definire: $W = XYZ$ e quindi avere $\phi(t) = E[e^{itW}] = E[e^{it(X^2Y + Y^2X)}]$
anche se non mi pare abbia senso, senza contare che non calcolarla.. Il problema è proprio capire cosa significa definire la prob congiunta.
Per il secondo quesito il problema è lo stesso, mentre per l' ultimo è banale..
Grazie a tutti
Risposte
Applica la definizione di funzione caratteristica multidimensionale. la trovi su wiki inglese.
Ho guardato, ma non mi è molto chiaro.
è scritto, come pure sui miei appunti: $\phi(t) = E[e^{jt^TH}]$ dove $H$ è un vettore aleatorio. Ma non capisco se $H$ è del tipo: $H=((X),(Y),(Z))$ o cos' altro?
Se così fosse avrei $\phi_H(t) = \prod_{i=0}^{3}\phi_i(t) = e^(-16t^2/2)e^{-9t^2/2 + it5}e^{-25t^2/2 + it5}$ giusto ?
EDIT: con questo procedimento sto dando per scontato che $Z$ sia indiependente da $X$ e $Y$, forse è più corretto scrivere: $\phi_H(t) = E[e^(it(X+Y+Z))] = E[e^(it(2X+2Y))]$ e a questo punto applicare l' indipendenza ottendendo $\phi_H(t) = e^-(16*4*t^2/2)e^-(9*4*t^2/2 + it5)$
è scritto, come pure sui miei appunti: $\phi(t) = E[e^{jt^TH}]$ dove $H$ è un vettore aleatorio. Ma non capisco se $H$ è del tipo: $H=((X),(Y),(Z))$ o cos' altro?
Se così fosse avrei $\phi_H(t) = \prod_{i=0}^{3}\phi_i(t) = e^(-16t^2/2)e^{-9t^2/2 + it5}e^{-25t^2/2 + it5}$ giusto ?
EDIT: con questo procedimento sto dando per scontato che $Z$ sia indiependente da $X$ e $Y$, forse è più corretto scrivere: $\phi_H(t) = E[e^(it(X+Y+Z))] = E[e^(it(2X+2Y))]$ e a questo punto applicare l' indipendenza ottendendo $\phi_H(t) = e^-(16*4*t^2/2)e^-(9*4*t^2/2 + it5)$
"andra_zx":
$\phi_H(t) = E[e^(it(X+Y+Z))]
Questo è quasi giusto perchè anche t è un vettore di lunghezza tre (altrimenti perchè c'è il trasposto).
Poi sostituisci a Z la sua espressione e raccogli X e Y e poi splitti a media per ondipendenza.
intendi dire che sarebbe più corretto scrivere: $E[e^(i(t_1X + t_2Y + t_3Z))]$ ? però non credo, altrimenti poi non mi sembrerebbe molto lecito l' ultimo passaggio che ho fatto nel messaggio precedente.. che infine dovrebbe essere quello che mi hai suggerito, o sbaglio ?
"andra_zx":
$E[e^(i(t_1X + t_2Y + t_3Z))]$
Questa è la funzione caratteristica di un vettorer tridimensionale. Cosa non dovrebbe essere lecito?
intendo scrivere: $\phi_H(t) = E[e^(it(X+Y+Z))] = E[e^(it(2X+2Y))]$ e a questo punto applicare l' indipendenza ottendendo $\phi_H(t) = e^-(16*4*t^2/2)e^-(9*4*t^2/2 + it5)$
perchè se distinguessi le varie componenti del vettore $t$ avrei: $\phi_H(t) = E[e^((iX(t_1 + t_3)+Y(t_2 + t_3)))]$, magari è una cosa naturale, ma io non l' ho mai vista fino ad ora.. anche se in effetti quando si trattano i vettori di v.a. iid credo che quel passaggio di raccolta venga fatto implicitamente.
Cioè quello che mi lascia perplesso è che rimangano i pedici sulle $t$..
perchè se distinguessi le varie componenti del vettore $t$ avrei: $\phi_H(t) = E[e^((iX(t_1 + t_3)+Y(t_2 + t_3)))]$, magari è una cosa naturale, ma io non l' ho mai vista fino ad ora.. anche se in effetti quando si trattano i vettori di v.a. iid credo che quel passaggio di raccolta venga fatto implicitamente.
Cioè quello che mi lascia perplesso è che rimangano i pedici sulle $t$..
"andra_zx":
$\phi_H(t) = E[e^((iX(t_1 + t_3)+Y(t_2 + t_3)))]=$...
$= E[e^(iX(t_1+t_3))] \ E[e^(iY(t_2+t_3))]= \phi_X(t_1+t_3) \ \phi_Y(t_2+t_3)$
è proprio ragionare su quel calcolo calcolo che mi lascia un pò interdetto
la cosa più logica da fare penso sia scrivere: $\phi_H(t) = e^-(16*4*(t_1 + t_3)^2/2)e^-(9*4*(t_2+t_3)^2/2 + it_2 5)$
la cosa più logica da fare penso sia scrivere: $\phi_H(t) = e^-(16*4*(t_1 + t_3)^2/2)e^-(9*4*(t_2+t_3)^2/2 + it_2 5)$
Data $N sim N(mu,sigma^2)$
$phi_N(t)= exp{i mu t\ -\ 1/2 sigma^2 t^2 }$; te ora devi solo mettere bene i numeri (perchè quel 4?) e sostituire $t =t_1+t_3$ e $t=t_2+t_3$
$phi_N(t)= exp{i mu t\ -\ 1/2 sigma^2 t^2 }$; te ora devi solo mettere bene i numeri (perchè quel 4?) e sostituire $t =t_1+t_3$ e $t=t_2+t_3$
i 4 venivano dal fatto che inizialmente (sensa la distinzione dei pedici) mi ero trovato $2X$ e $2Y$ quindi $var(2X) = 4var(X)$
A questo punto in effetti i 4 non servono più quindi mi rimane
$\phi_H(t) = e^-(8t^2)e^-(9/2 t^2 + it5)$
A questo punto in effetti i 4 non servono più quindi mi rimane
$\phi_H(t) = e^-(8t^2)e^-(9/2 t^2 + it5)$
"andra_zx":
sto dando per scontato che $Z$ sia indiependente da $X$ e $Y$
A quanto pare stiamo risolvendo lo stesso homework
Io non riesco a dare per scontato che siano indipendenti. Come mai ne sei così sicuro?
infatti ho sbagliato, se leggi il seguito della discussione vedrai che non ho usato quella proprietà, mooolto probabilmente errata visto che $Z$ è composizione di X e Y
scusate ma che senso ha il punto b ? cioè non è una semplificazione del punto a?
si praticamente i punti (b) e (c) sono 2 semplificazioni del primo quesito.
il punto c , non va fatto con la convoluzione di X e Y ?
@andrea: ma lo hai risolto il punto a) perchè le funzioni caratteristiche che hai scritto non sono giuste.
in che senso non sono giuste ?
ho solo applicato la formula della funzione caratteristica..
quiei $t_i$ mi stanno mandando in confusione..
EDIT: passiamo un secondo alla domanda (c), il questp caso la funzione caratterisitica: $\phi_z(t) = exp{-1/2 t^2(16 + 9) +i5t}$ con una densità $f_z(x)=1/(\sqrt(2\pi25))exp{-(x-5)^2 /(2*25)}$
ok ?
Almeno per vedere se c'è qualche problema di fondo..
ho solo applicato la formula della funzione caratteristica..
quiei $t_i$ mi stanno mandando in confusione..
EDIT: passiamo un secondo alla domanda (c), il questp caso la funzione caratterisitica: $\phi_z(t) = exp{-1/2 t^2(16 + 9) +i5t}$ con una densità $f_z(x)=1/(\sqrt(2\pi25))exp{-(x-5)^2 /(2*25)}$
ok ?
Almeno per vedere se c'è qualche problema di fondo..
"andra_zx":
quiei $t_i$ mi stanno mandando in confusione..
Se $U$ è una variabile aleatoria di dimensione $d$ (nel tuo caso d=3), la funzione caratteristica è una funzione:
$phi_U\ :\ RR^d to CC$; quindi il suo elemento del dominio è un vettore $(t_1,...,t_d)$.
Quindi hai questo
$E[e^(i(t_1X + t_2Y + t_3Z))]\ =\ \phi_X(t_1+t_3) \ \phi_Y(t_2+t_3)$
che ottieni per sostituzione e per indipendenza di X e Y;
ed usa questo:
"DajeForte":
Data $N sim N(mu,sigma^2)$
$phi_N(t)= exp{i mu t\ -\ 1/2 sigma^2 t^2 }$.
Gli altri due quesiti vengono da se.
@Wolfplayer: puoi anche usare le funzioni caratteristiche. Da quella di prima ti ricavi quella della Z e vedi che quella è la funzione caratteristica di una distribuzione nota (è una normale) e quindi la distribuzione della variabile è determinata (nel senso che sussiste una relazione biunivoca tra distribuzione e funzione caratteristica)
eh è prima sono arrivato a scrivere: $\phi_H(t) = e^-(16(t_1 + t_3)^2/2)e^-(9*(t_2+t_3)^2/2 + i(t_2+t_3) 5)$
cioè al posto di $t$ ci metto la combinazione ottenuta nei passaggi precedenti.
Poi hai detto di sostituire $t=t_1 + t_3$ e $t=t_2+t_3$
cioè al posto di $t$ ci metto la combinazione ottenuta nei passaggi precedenti.
Poi hai detto di sostituire $t=t_1 + t_3$ e $t=t_2+t_3$
"andra_zx":
eh è prima sono arrivato a scrivere: $\phi_H(t) = e^-(16(t_1 + t_3)^2/2)e^-(9*(t_2+t_3)^2/2 + i(t_2+t_3) 5)$
cioè al posto di $t$ ci metto la combinazione ottenuta nei passaggi precedenti.
Poi hai detto di sostituire $t=t_1 + t_3$ e $t=t_2+t_3$
Non ho capito cosa intendi ma la funzione che hai scritto è giusta (a parte il meno al'esponente della seconda che becca solo la varianza)
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