$\frac{X-Y}{X+Y}$ con $X$ e $Y \sim Exp(\lambda)$

[poncelet]

Siano $X$ e $Y$ due v.a. esponenziali indipendenti di stesso parametro $\lambda$. Determinare la funzione di ripartizione di $\frac{X-Y}{X+Y}$.

Non so proprio da dove cominciare. L'unica cosa che so (forse) è che $X+Y$ segue una distribuzione Gamma di parametri $(2,1/\lambda)$. Ma non so se possa essermi utile.

Se qualcuno mi potesse solo dire da dove cominciare gliene sarei grato.

[fransis2]

per il momento non voglio dirti subito la soluzione... ma prova a pensare a quale regione del piano $(x,y)$ corrisponde la condizione $\frac{x-y}{x+y}

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[poncelet]

"fransis2":per il momento non voglio dirti subito la soluzione... ma prova a pensare a quale regione del piano $(x,y)$ corrisponde la condizione $\frac{x-y}{x+y}

Sbaglio, o si tratta della regione di spazio delimitata da una retta passante per l'origine e di coefficiente angolare $\frac{t-1}{t+1}$? Oppure ho detto una cavolata?

[DajeForte]

Il numeratore del coefficiente angolare viene $1-t$

[poncelet]

"DajeForte":Il numeratore del coefficiente angolare viene $1-t$

Giusto quindi dovrei calcolare l'integrale:

$int_(0)^(+oo)int_(\frac{1+t}{1-t}*y)^(+oo)\lambda^2*e^{-\lambda*(x+y)}dxdy$?

[DajeForte]

No non mi torna;
rifai un attimo i calcoli, tra 2 minuti li rifaccio anchio

[poncelet]

Potrebbe essere:

$int_(0)^(+oo)int_(0)^(\frac{1+t}{1-t}*y)\lambda^2*e^{-\lambda*(x+y)}dxdy$?

[DajeForte]

Si; adesso integra e poi è interessante vedere il risultato.

[poncelet]

"DajeForte":Si; adesso integra e poi è interessante vedere il risultato.

Se non ho sbagliato i conti mi viene:

$e^(\lambdak)-1$ dove $k=\frac{1+t}{1-t}$

Il libro da un risultato diverso, ovvero $\frac{z+1}{2}$ per $-1 < z < 1$

[DajeForte]

Questa volta ha ragione il libro,
vedi è una uniforme in (-1,1), che rispecchia il concetto della trasformazione che stai facendo (tieni presente che le due variabili sono i.i.d.).

[poncelet]

"DajeForte":Questa volta ha ragione il libro,
vedi è una uniforme in (-1,1), che rispecchia il concetto della trasformazione che stai facendo (tieni presente che le due variabili sono i.i.d.).

E come faccio a capire dal mio risultato che si tratta di una uniforme?

[DajeForte]

Dal tuo risultato non lo capisci ma perchè hai sbagliato l'integrale.

Da quello del libro perchè la funzione di ripartizione di una Uniforme in (a,b) è $(x-a)/(b-a)$ per $x in(a,b)$ sostituisci $a=-1$ e $b=1$ ed ottieni l'uniforme

[poncelet]

"DajeForte":Dal tuo risultato non lo capisci ma perchè hai sbagliato l'integrale.

Da quello del libro perchè la funzione di ripartizione di una Uniforme in (a,b) è $(x-a)/(b-a)$ per $x in(a,b)$ sostituisci $a=-1$ e $b=1$ ed ottieni l'uniforme

Sì, dal risultato del libro avevo capito che si trattava di una uniforme. Non capisco dove ho sbagliato nel procedimento che ho utilizzato.

[DajeForte]

"maxsiviero":$int_(0)^(+oo)int_(0)^(\frac{1+t}{1-t}*y)\lambda^2*e^{-\lambda*(x+y)}dxdy$?

$=int_0^(+infty)lambda\ e^(-lambda y){1-e^(-lambda y (1+t)/(1-t))}\ dy\quad =\quad 1-int_0^(+infty)lambda e^(-lambda y 2/(1-t))\ dy\quad =\quad 1-(1-t)/2=(t+1)/2$

[poncelet]

Ti ringrazio, avevo calcolato male l'integrale. Sei stato molto gentile.

[DajeForte]

Figurati; di nulla.

[fransis2]

"maxsiviero":Potrebbe essere:

$int_(0)^(+oo)int_(0)^(\frac{1+t}{1-t}*y)\lambda^2*e^{-\lambda*(x+y)}dxdy$?

si poi questo vale per $\frac{1-t}{t+1}>0$ ossia $t$ compreso tra $-1$ e $1$ ma questo già si sapeva perchè essendo $X$ e $Y$ positivi $\frac{X-Y}{X+Y}$ è compreso tra $-1$ e $1$