Formula per il calcolo della speranza

[retrocomputer]

Ciao, stavo provando la formula

$E[X]=\sum_{n\geq 0}P\{X>n\}$
per una variabile aleatoria $X$ a valori interi positivi, e alla fine penso di esserci arrivato.
Conoscevo la dimostrazione della formula analoga per le variabili reali e mi sono un po' ispirato a quella.

Alla fine ottengo

$\sum_{n\geq 0}P\{X>n\}=\sum_{n\geq 0}\sum_{k> n}P\{X=k\}=...?...=\sum_{n\geq 0}nP\{X=n\}=E[X]$

e quello che c'è al posto del punto interrogativo non so bene come scriverlo, nel senso che, sviluppando le sommatorie si vede bene che i vari $P\{X=k\}$ sono esattamente $k$, ma vorrei trovare qualche passaggio aritmetico con le proprietà delle sommatorie... Per ora non mi è venuto in mente niente...

[hamming_burst]

Ciao,
in mezzo dovrebbe esserci un semplice scambio di indici (swap) nella doppia sommatoria per far ricadere l'$n$ finale come somma finita. Vedi wiki dove è espresso con i passaggi.

se hai dubbi basta chiedere

[retrocomputer]

"hamming_burst":Ciao,
in mezzo dovrebbe esserci un semplice scambio di indici (swap) nella doppia sommatoria per far ricadere l'$n$ finale come somma finita. Vedi wiki dove è espresso con i passaggi.

Grazie, il passaggio mi torna e non so perché pensavo che potesse esserci qualche "trucco aritmetico" per dimostrare lo scambio di indici... Alla fine la validità dello scambio di indici si prova semplicemente scrivendo i vari termini per riga e colonna e se prima li si somma per riga, poi li si somma per colonna... Non so se mi sono spiegato

Comunque i passaggi sono questi:

$\sum_{n\geq 0}\ \sum_{k>n}P\{X=k\}=\sum_{k> 0}\ \sum_{0\leq n< k}P\{X=k\}=\sum_{k> 0}P\{X=k\}\sum_{0\leq n< k} 1=\sum_{k> 0}P\{X=k\}\ k=\sum_{k\geq 0}P\{X=k\}\ k$

e lo scambio di indici lo proverei così:

      k=1    k=2    k=3    ...
n=0 P(X=1) P(X=2) P(X=3)   ... 
n=1        P(X=2) P(X=3)   ...
n=2               P(X=3)   ...
...                        ...

La prima sommatoria (quella con $n\geq 0$) è (somma degli elementi della prima riga) + (somma degli elementi della seconda riga) + ...
La seconda sommatoria (quella con $k> 0$) è (somma degli elementi della prima colonna) + (somma degli elementi della seconda colonna) + ...