Formichine quasi SIMpatiche! (Probabilità)

[Giova411]

[codino75]

spero che l'immagine non sia troppo ingombrante.

[Giova411]

Codì grazie mille per la soluzione ma, non ci crederai, non ho capito. Se mi mandi a F ... o fai bene e ti ringrazio pure per avermici mandato...
Il quadrato perché l'hai disegnato tra $2

[codino75]

cerco di mantenere la calma e rispondere, confidando nella bonta' del metodo dialogico.

allora, come indicato sugli assi diriferimento, ho rappresentato alfa_x e omega_x, cioe' la componennte x della formica alfa e la componente x della formica omega. tali componenti assumono valori in [2,4], mi sembra.

l'area della parte 'con le righe' e' pari a=
[area_quadrato] - [ i_2_triangolini(inalto a sinistra e in basso a destra)]=
4 - 2 * (base_triangolino*altezza_triangolino)/2=
4 - 2*(2-d)*(2-d)/2=quello che avevo scritto.

[Giova411]

GRAZIE!
La parte "tecnica" dell'area del disegno l'avevo capita poco dopo che ho postato perché dimentivavo che i triangolini erano 2...
E si ci vuole pazienza. Pensa a me quanta pazienza devo avere con me stesso...
Allora ci sono. Lo stesso viene per $D_y$ se non sbaglio.
Ma i miei dubbi erano (e sono) basati sul fatto che nelle soluzione finale (senza svolgimento) del prof dice $P(D_x>t)=1/4(2-t)^2$

[codino75]

ho fatto i conti a mente, quindi non sono sicurissimo, ma mi sembra che il risultato del tuo prof sia coerente col 'mio', in quanto lui da' il valore di P(Dx>t), mentre il mio e' per P(Dx alla luce di cio' hai ancora dubbi?
se si' posta.
saluti al prof.

[Giova411]

Ah Codì bello mio sto capendo! Porca Puttjjhsdkjb hd lkhd kH ECC ECC
Il prof non l'ho mai visto (e si vedono i risultati...) ma all'esame gli dirò: "Ti saluta Codì!"

Lui ha calcolato i triangolini così: $((2-t)^2)/2 * 2*1/4$ ma perché si divide per $4$ (lo so che è una domanda da asilo!)
Cioé anche tu me l'hai scritto nel foglio sopra: $"Area tratteggiata/area tot"$
Sarà perché, per definizione, l'area totale della prob deve essere $=1$?




PS: vedo che hai "preso a cuore" il mio caso disperato...
PS2: il punto C) lo lasciamo? Io non lo so fare ma so, in linea di principio con quanto detto, che si fa una convoluzione che facilita le cose visto che sono indipendenti

[Giova411]

Non so che ci faccio alzato alle 7.40..
Per il c) ho provato (il prof non mette il risultato di questo punto) quindi non so se è giusto...

Parto dalla densità congiunta $f(x,y)={(1/4 " per " 2
$U=X+Y$

$int_2^4 int_0^(u-x) (1/4 dy) dx = 1/2 u - 3/2$

[codino75]

2 cose:

1)

"Giova411":[img]
ma perché si divide per $4$ (lo so che è una domanda da asilo!)
Cioé anche tu me l'hai scritto nel foglio sopra: $"Area tratteggiata/area tot"$
Sarà perché, per definizione, l'area totale della prob deve essere $=1$?

in effetti il mio calcolo non era abbastanza chiaro.
infatti, per calcolare
$P[Dx si doveva fare l'INTEGRALE, esteso alla superficie 'tratteggiata', della densita' di prob. congiunta f(αx,ωx), che vale appunto 1/4
spero che in qusto modo ti ritornino i calcoli (il mio procedimento era in effetti troppo 'rustico' e rozzo).


2) forse non hai dormito abbastanza, poiche' per fare il calcolo della convoluzione (ripeto che non conosco tale procedimento , mna se tu lo conosci va bene (ah, e' corretto che le v.a. Dx e Dy sono indipendenti appunto perche' sono in un quadrato, cioe' una forma che non fa' in modo che si influenzino a vicenda)) dovresti prendere la densita' di prob. di Dx e Dy (che mi pare non fossero costanti) e non quella di alfa_x e omega_x o altro.

saluti

[Giova411]

"codino75":
in effetti il mio calcolo non era abbastanza chiaro.
infatti, per calcolare
$P[Dx si doveva fare l'INTEGRALE, esteso alla superficie 'tratteggiata', della densita' di prob. congiunta f(αx,ωx), che vale appunto 1/4
spero che in qusto modo ti ritornino i calcoli (il mio procedimento era in effetti troppo 'rustico' e rozzo).

No, invece ti ringrazio! E di brutto pure! Cioé mi hai aperto la testa con questo esempio. Io ero abituato a fare i calcoletti come gli esempi che ho sul libro... Ho una visione più geometrica grazie a te!

Per fare il calcolo della convoluzione ho dei dubbi (che di solito non ho ) proprio perché le densità marginali sono costanti (entrambe $= 1/2$) quindi la convuluzione in questo caso mi viene:

$g(u)=int_0^u (1/2)(1/2) dv = 1/4u$ se $u>0$ ma poi non mi viene la verifica di tale valore...

[codino75]

"codino75":

2) forse non hai dormito abbastanza, poiche' per fare il calcolo della convoluzione (ripeto che non conosco tale procedimento , mna se tu lo conosci va bene (ah, e' corretto che le v.a. Dx e Dy sono indipendenti appunto perche' sono in un quadrato, cioe' una forma che non fa' in modo che si influenzino a vicenda)) dovresti prendere la densita' di prob. di Dx e Dy (che mi pare non fossero costanti) e non quella di alfa_x e omega_x o altro.

saluti

mi autoquoto, cioe' se parli del punto c. devi fare la convoluzione tra le ddp di Dx e Dy, che dovrebbero valere qualcosa come :
1-d/2 per 0

Cita

Segnala

[Giova411]

Ti spiego il perché dei miei calcoli Codì.
Sul libro c'é:
Se sono indipendenti $f(x,y)=f_1(x)*f_2(y)$ e si ha:

Ponendo $v=x$ e $u-v=y$
$g(u) = int_(-oo)^(oo) (f_1(v)* f_2(u-v))dv$

Quindi siccome parla di densità sono andato a prendere le densità marginali derivando le distribuzione di prob marginali che mi hai aiutato a tovare nei primi POST. Quante cavolo di densità ci sono? MAREMMA BUcaIOLA che caOS

[Giova411]

Codì e se ragionassi in termini di aree geometriche? (Lasciando ste convoluzioni e compagnia bella)

$Y= T - X$
$P(D<= T) = int_2^t int_0^(t-x) 1/4 dy dx$

Che dici?

[codino75]

"Giova411":
Quindi siccome parla di densità sono andato a prendere le densità marginali derivando le distribuzione di prob marginali che mi hai aiutato a tovare nei primi POST. Quante cavolo di densità ci sono? MAREMMA BUcaIOLA che caOS

la densita' di probabilita' per

Dx(d) e' (se non avevo sbagliato i calcoli nel foglio che avevo allegato) 1 - d/2

analogamente per

Dy(t) sara' 1 - t/2

non c'e' piu' niente da derivare perche' queste sono proprio le densita' di probabilita' (e sono indipendenti)

ora per trovare la densita' di prob. di Dx+Dy o fai la convoluzione oppure rifai il procedimento che abbiamo utilizzato per trovare la densita' di Dx, solo che invece di una differenza in modulo ora hai una somma, e la ddp congiunta (Dx,Dy) e' piu' complicata , essendo pari al prodotto delle due che ho scritto sopra, cioe' sara' (1-d/2)*(1-t/2)

[Giova411]

Dici di provare così?
$V=X " e " Y=U - X$
$g(u)=int_0^u (1- v/2)(1-((u-v))/2) dv$ (con la convoluzione)

[codino75]

tentar non nuoce, ma non ti posso seguire piu' di tanto nella convoluzione perche' e' un campo dove mi sento debole...
forse la convoluzione puoi tentare di farla anche graficamente, in quanto in fondo sono 2 triangoli .

[Giova411]

Figurati! Grazie infinite per quello che mi hai insegnato fin'ora! Non è l'unico esercizio nel quale mi aiuti!
Graficamente l'avevo pensata così. Trovare l'area blu, così avrò il punto C). Ci sono?

[codino75]

veramente, poiche' in questo caso, diversamente dal precedente, la ddp congiunta non e' costante sul quadrato, devi purtroppo fare
l'integrale, esteso alla parte colorata blu nel tuo disegno, della ddp congiunta di Dx e Dy, che dovrebbe essere quella che avevi correttamente scritto prima, nella formula della convoluzione.
ti ricordo inoltre che Dx eDy sono definite tra 0 e 2, e non tra 2 e 4.

forse e' piu' facile fare la convoluzione

[Giova411]

Vabbò.. Codino, amico mio, lascio sto punto C) in sospeso finché non lo capirò. Intanto mi esercito un altro po' con ste cosette carognette..

Spero quindi di riprendere tale POST più in là.... CODI' sei stato fantastico!

Ma se qualcuno vuole proporre una soluzione, magari con la convoluzione, sarà più che ben e di più molto tanto e ancor di più assai tanto quanto va a largo che lascia lo zampino ecc ecc GRADITA.

[codino75]

ok. restiamo in attesa di un 'convolutore'. ciao

[Giova411]

Non sono il CONVOLUTORE ma collaboro con lui, con la giustizia, con mia mamma, con la nonna, col vicino di casa e così con tutti quanti, se mi è possibile.

Annuncio a CODINO75 ed agli amici del FORUM interessati, nel presente e/o nel futuro, a quest'esercizio che c'é più PILU pé ... ehhm no, che, proprio oggi, ho provato a fare sta benedetta convoluzione:

(Vabbé non è che ci ho messo tutti sti giorni, ho fatto anche altro...)


La densità di $D$ potrebbe essere questa Convolutò?!

${(0 " se "t<0 ),(1-t/2 " se " 0<=t<=2),(1-t/2 " se " 2=4):}$

La convoluzione, visto che sono indipendenti X e Y, potrebbe essere trovata così:

$V=X " e " Y=U - X$
$g(u)=int_0^u (1- v/2)(1-((u-v))/2) dv = ... = u -(u^2)/2 + (u^3)/24$

diciamo che quest'ultimo valore è giusto. Ora come faccio a verificarlo? C'é una sorta di "prova del nove" per verificarlo?
Ora, a questo punto, abbiamo bisogno di te CONVOLUTO'....

E' quasi finito!!!!