[fondamenti di segnali e trasmissione] trasmissione digitale
Salve a tutti. Sto riscontrando tanta difficoltà con questo esercizio, non so come muovermi. Mi risulta molto difficile. grazie mille a chi mi aiuterà.
$ E_(max) $Si consideri una trasmissione digitale con $M = 8$ segnali trasmessi in modo equiprobabile su un canale AWGN con densità spettrale di potenza $N_0/2$ (ovvero: la varianza della componente di rumore a valle del demodulatore è $N_0/2$. La costellazione dei segnali è
$s_1 =(0,0), $ $s_2 =(A,0), $ $s_3 =(2A,0), $ $s_4 =(3A,0), $ $s_5 =(0,A), $ $s_6 =(A,A), $ $s_7 =(2A,A), $$s_8 =(3A,A), $
con $A>0$
(a) Rappresentare graficamente la costellazione dei segnali e le regioni di decisione ottime.
(b) Calcolare l'energia $E_(max)$ (anche detta energia di picco, l'energia media $E_(av)$, e l'energia media per bit $E_(bav)$ spese per la trasmissione.
(c) Usando la tecnica dell'"union bound", determinare un limite superiore $P_M$ per probabilità di errore di simbolo del sistema, esprimendo il risultato in funzione del rapporto segnale rumore medio per bit $ gamma = (E_(bav))/(N_0) $
(d) A partire dalla costellazione degli otto segnali sopra riportata, proporre una nuova costellazione che lasci inalterate le distanze e gli angoli tra gli otto segnali, ma riduca l'energia media spesa per la trasmissione. Quanto vale la probabilità $P_M$ per la nuova costellazione?
Il mio ragionamento:
Quesito a
La rappresentazione gra fica delle regioni di decisione è
Quesito b
b) Sfruttando la geometria della costellazione, è evidente che l'energia di
picco della trasmissione è legata ai punti a maggiore distanza dall'origine dello
spazio dei segnali. Per cui è sufficiente considerare uno dei segnali di vertice per
ottenere
$ epsilon_(max)=(Asqrt2)^2=2A^2 $
Per il calcolo dell'energia media, data l'assunzione di trasmissione equiprobabile,
indicando come $epsilon_(V)$ l'energia dei punti di vertice e come $epsilon_(P)$ l'energia dei punti
perimetrali (dalla costellazione si evince immediatamente che $epsilon_(P)=A^2$), è vero
che
$ epsilon_(av)=1/M*sum_(m=1)^(M)*epsilon_m=1/8*[4epsilon_(V)+4epsilon_(P)=3/2*A^2 $
In fine, scalando rispetto al numero di bit per simbolo, cioè 3 per una segnalazione
ad 8 simboli, si ottiene l'energia media per bit
$ epsilon_(bav)=(epsilon_(av))/log_2M=(epsilon_(av))/2= A^2/2 $
Quesito c
Per l'assunzione di equiprobabilità e la simmetria del problema, la probabilità di errore è data da
$ gamma = (E_(bav))/(N_0) = (A^2/2)/(N_0/2)= A^2/N_0$
Quesito d
Sinceramente non saprei come ridurre l'energia media spesa per la trasmissione. Forse dovrei ribaltare la costellazione?
$ E_(max) $Si consideri una trasmissione digitale con $M = 8$ segnali trasmessi in modo equiprobabile su un canale AWGN con densità spettrale di potenza $N_0/2$ (ovvero: la varianza della componente di rumore a valle del demodulatore è $N_0/2$. La costellazione dei segnali è
$s_1 =(0,0), $ $s_2 =(A,0), $ $s_3 =(2A,0), $ $s_4 =(3A,0), $ $s_5 =(0,A), $ $s_6 =(A,A), $ $s_7 =(2A,A), $$s_8 =(3A,A), $
con $A>0$
(a) Rappresentare graficamente la costellazione dei segnali e le regioni di decisione ottime.
(b) Calcolare l'energia $E_(max)$ (anche detta energia di picco, l'energia media $E_(av)$, e l'energia media per bit $E_(bav)$ spese per la trasmissione.
(c) Usando la tecnica dell'"union bound", determinare un limite superiore $P_M$ per probabilità di errore di simbolo del sistema, esprimendo il risultato in funzione del rapporto segnale rumore medio per bit $ gamma = (E_(bav))/(N_0) $
(d) A partire dalla costellazione degli otto segnali sopra riportata, proporre una nuova costellazione che lasci inalterate le distanze e gli angoli tra gli otto segnali, ma riduca l'energia media spesa per la trasmissione. Quanto vale la probabilità $P_M$ per la nuova costellazione?
Il mio ragionamento:
Quesito a
La rappresentazione gra fica delle regioni di decisione è
Quesito b
b) Sfruttando la geometria della costellazione, è evidente che l'energia di
picco della trasmissione è legata ai punti a maggiore distanza dall'origine dello
spazio dei segnali. Per cui è sufficiente considerare uno dei segnali di vertice per
ottenere
$ epsilon_(max)=(Asqrt2)^2=2A^2 $
Per il calcolo dell'energia media, data l'assunzione di trasmissione equiprobabile,
indicando come $epsilon_(V)$ l'energia dei punti di vertice e come $epsilon_(P)$ l'energia dei punti
perimetrali (dalla costellazione si evince immediatamente che $epsilon_(P)=A^2$), è vero
che
$ epsilon_(av)=1/M*sum_(m=1)^(M)*epsilon_m=1/8*[4epsilon_(V)+4epsilon_(P)=3/2*A^2 $
In fine, scalando rispetto al numero di bit per simbolo, cioè 3 per una segnalazione
ad 8 simboli, si ottiene l'energia media per bit
$ epsilon_(bav)=(epsilon_(av))/log_2M=(epsilon_(av))/2= A^2/2 $
Quesito c
Per l'assunzione di equiprobabilità e la simmetria del problema, la probabilità di errore è data da
$ gamma = (E_(bav))/(N_0) = (A^2/2)/(N_0/2)= A^2/N_0$
Quesito d
Sinceramente non saprei come ridurre l'energia media spesa per la trasmissione. Forse dovrei ribaltare la costellazione?
Risposte
Quesito d
Sinceramente non saprei come ridurre l'energia media spesa per la trasmissione. Forse dovrei ribaltare la costellazione?
O forse centrarla attorno all'origine degli assi.
[xdom="feddy"]Ciao Tommaso, ho notato che in molti dei tuoi post includi immagini. Mi rendo conto che riscrivere tutto in LaTeX è noioso, però ti chiederei di limitare quanto più possibile il numero di immagini che includi nelle tue domande. Questo perché, se quel link si rompe, il post risulterà illeggibile in futuro.[/xdom]
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo