[fondamenti di segnale e trasmissione] variabile aleatoria
Salve a tutti. Sto riscontrando tanta difficoltà con questo esercizio, non so come muovermi. Mi risulta molto difficile. grazie mille a chi mi aiuterà.
Sia X una variabile aleatoria (v.a.) guassiana con media $ mu_X = 1 $ e $ sigma_X^2 = 4 $ e sia Y una v.a. guassiasi con media $ mu_Y = 2 $ e $ sigma_Y^2 = 1 $. La covarianza tra X ed Y è $ COV(X,Y)= E [(X-mu_X)*(Y-mu_Y)] = 1/2 $.
Si consideri inoltre la v.a. Z definita dalla relazione $ Z = X-3Y $, e si ricordi la definizione
$ Q(alpha) = int_alpha^oo 1/(2pi)*exp(-u^2/2)*du $
a. Calcolare la probabilità $P(-1
c. Si determini la varianza $sigma_Z^2$ della v.a. Z
d. Si determini l'espressione analitica della funzione di distribuzione cumulativa $F_Z(z)$ della v.a. Z, esprimendo il risultato in termini della funzione Q(.)
Il mio ragionamento
Quesito a
La probabilità $P(-1
Quesito b e c
Per calcolare il valore atteso e la varianza basta utilizzare le proprietà
$ E[Z] = E[X-3Y]=E[X] - 3E[Y]= 1-3*2 = -6 $
$ VAR[Z] = VAR[X-3Y]=VAR[X] - 3VAR[Y]= 4-3*1 = 1 $
Quesito d
la CDF di Z vale
$ F_Z(Z) = P({Z<=z)=P({Z/(2sqrt2)<=z/(2sqrt2)})= P({x<=Z/(2sqrt2)})=1-Q(Z/(2sqrt2)=Q(-Z/(2sqrt2)) $
Sia X una variabile aleatoria (v.a.) guassiana con media $ mu_X = 1 $ e $ sigma_X^2 = 4 $ e sia Y una v.a. guassiasi con media $ mu_Y = 2 $ e $ sigma_Y^2 = 1 $. La covarianza tra X ed Y è $ COV(X,Y)= E [(X-mu_X)*(Y-mu_Y)] = 1/2 $.
Si consideri inoltre la v.a. Z definita dalla relazione $ Z = X-3Y $, e si ricordi la definizione
$ Q(alpha) = int_alpha^oo 1/(2pi)*exp(-u^2/2)*du $
a. Calcolare la probabilità $P(-1
c. Si determini la varianza $sigma_Z^2$ della v.a. Z
d. Si determini l'espressione analitica della funzione di distribuzione cumulativa $F_Z(z)$ della v.a. Z, esprimendo il risultato in termini della funzione Q(.)
Il mio ragionamento
Quesito a
La probabilità $P(-1
Quesito b e c
Per calcolare il valore atteso e la varianza basta utilizzare le proprietà
$ E[Z] = E[X-3Y]=E[X] - 3E[Y]= 1-3*2 = -6 $
$ VAR[Z] = VAR[X-3Y]=VAR[X] - 3VAR[Y]= 4-3*1 = 1 $
Quesito d
la CDF di Z vale
$ F_Z(Z) = P({Z<=z)=P({Z/(2sqrt2)<=z/(2sqrt2)})= P({x<=Z/(2sqrt2)})=1-Q(Z/(2sqrt2)=Q(-Z/(2sqrt2)) $
Risposte
"tommasovitolo":
La covarianza tra X ed Y è $ COV(X,Y)= E [(X-mu_X)*(Y-mu_Y)] = 1/2 $
Non sembri usare questa informazione.
"tommasovitolo":
$ VAR[Z] = VAR[X-3Y]=VAR[X] - 3VAR[Y]= 4-3*1 = 1 $
Come ho detto altrove, no. $\Var(aX+bY)$ quant'è se $X$ e $Y$ sono indipendenti? E se non lo sono?
$ VAR[Z] = VAR[X-3Y]= VAR[X/(sigma_X)+3Y/(sigma_Y)]= VAR[X]/(sigma_X^2)+3VAR[Y]/(sigma_Y^2)-2*3COV[X,Y]/(sigma_X*sigma_Y) = 1/4+3*2-2*3*r(X,Y) $
$ r[X,Y] = (COV[X,Y])/sqrt(VAR[X])*sqrt(VAR[Y])) = (1/2)/2 = 1/4 $
$ VAR[Z] = 1/4+3*2-2*3*1/4 = 19/4 $
$ r[X,Y] = (COV[X,Y])/sqrt(VAR[X])*sqrt(VAR[Y])) = (1/2)/2 = 1/4 $
$ VAR[Z] = 1/4+3*2-2*3*1/4 = 19/4 $
"tommasovitolo":
$
$ VAR[Z] = 1/4-3*2-2*1/4 = -27/4 $
La varianza di $Z$ è negativa?
mi esce negativa...
"tommasovitolo":
mi esce negativa...
E quindi sai di aver sbagliato, no?
$ VAR[Z] = VAR[X-3Y]= VAR[X/(sigma_X)+3Y/(sigma_Y)]= VAR[X]/(sigma_X^2)+3VAR[Y]/(sigma_Y^2)-2*3COV[X,Y]/(sigma_X*sigma_Y) = 1/4+3*2-2*3*r(X,Y) $
$ r[X,Y] = (COV[X,Y])/(sqrt(VAR[X])*sqrt(VAR[Y])) = (1/2)/2 = 1/4 $
$ VAR[Z] = 1/4+3*2-2*3*1/4 = 19/4 $
$ r[X,Y] = (COV[X,Y])/(sqrt(VAR[X])*sqrt(VAR[Y])) = (1/2)/2 = 1/4 $
$ VAR[Z] = 1/4+3*2-2*3*1/4 = 19/4 $
$\Var(aX+bY)$ quant'è se $X$ e $Y$ sono indipendenti?
Se sono indipendenti allora VAR[X−3Y]= a^2*VAR[X]+b^2*VAR[Y] = 1^2*VAR[X]+9*VAR[Y] = 1*4+9*1 = 13
*
*
"tommasovitolo":
$Q(0)-Q(sqrt2) $
??? 0? $\sqrt{2}$? Come ottieni questi valori?
"tommasovitolo":
$ E[Z] = E[X-3Y]=E[X] - 3E[Y]= 1-3*2 = -6 $
Cioè -5?
Quesito a
La probabilità $P(-1
Quesito b e c
Per calcolare il valore atteso e la varianza basta utilizzare le proprietà
$ E[Z] = E[X-3Y]=E[X] - 3E[Y]= 1-3*2 = -5 $
$ VAR[Z] = VAR[X-3Y]= a^2*VAR[X]+b^2*VAR[Y] = 1^2*VAR[X]+9*VAR[Y] = 1*4+9*1 = 13$
Quesito d
la CDF di Z vale
$ F_Z(Z) = P({Z<=z)=P({Z/(2sqrt2)<=z/(2sqrt2)})= P({x<=Z/(2sqrt2)})=1-Q(Z/(2sqrt2)=Q(-Z/(2sqrt2)) $
La probabilità $P(-1
Quesito b e c
Per calcolare il valore atteso e la varianza basta utilizzare le proprietà
$ E[Z] = E[X-3Y]=E[X] - 3E[Y]= 1-3*2 = -5 $
$ VAR[Z] = VAR[X-3Y]= a^2*VAR[X]+b^2*VAR[Y] = 1^2*VAR[X]+9*VAR[Y] = 1*4+9*1 = 13$
Quesito d
la CDF di Z vale
$ F_Z(Z) = P({Z<=z)=P({Z/(2sqrt2)<=z/(2sqrt2)})= P({x<=Z/(2sqrt2)})=1-Q(Z/(2sqrt2)=Q(-Z/(2sqrt2)) $
Mi sembra tutto sbagliato. $X$ e $Y$ non sono indipendenti quindi b è sbagliato.
E non vedo dove trovi i valori che usi in a.
E non vedo dove trovi i valori che usi in a.
"tommasovitolo":
$ VAR[Z] = VAR[X-3Y]= VAR[X/(sigma_X)+3Y/(sigma_Y)]= VAR[X]/(sigma_X^2)+3VAR[Y]/(sigma_Y^2)-2*3COV[X,Y]/(sigma_X*sigma_Y) = 1/4+3*2-2*3*r(X,Y) $
$ r[X,Y] = (COV[X,Y])/(sqrt(VAR[X])*sqrt(VAR[Y])) = (1/2)/2 = 1/4 $
$ VAR[Z] = 1/4+3*2-2*3*1/4 = 19/4 $
Quindi questo va bene
"tommasovitolo":
Quindi questo va bene
No, anche questo sembra totalmente sbagliato.
$Var(ax−by)=a2var(x)+b2var(y)−2abcov(x,y)$
$ VAR[Z] = VAR[X-3Y]= a^2*VAR[X]+b^2*VAR[Y]-2*a*b*COV(X,Y)= 1*4+3*1-2*1*3*1/2= 4+3-3 = 4 $
$ VAR[Z] = VAR[X-3Y]= a^2*VAR[X]+b^2*VAR[Y]-2*a*b*COV(X,Y)= 1*4+3*1-2*1*3*1/2= 4+3-3 = 4 $
"tommasovitolo":
$Var(ax−by)=a2var(x)+b2var(y)−2abcov(x,y)$
$ VAR[Z] = VAR[X-3Y]= a^2*VAR[X]+b^2*VAR[Y]-2*a*b*COV(X,Y)= 1*4+3*1-2*1*3*1/2= 4+3-3 = 4 $
Dici una cosa poi calcoli una cosa diversa.
$ VAR[Z] = VAR[X-3Y]= a^2*VAR[X]+b^2*VAR[Y]-2*a*b*COV(X,Y)= 1^2*4+3^2*1-2*1*3*1/2= 4+9-3 = 10 $
"tommasovitolo":
$ VAR[Z] = VAR[X-3Y]= a^2*VAR[X]+b^2*VAR[Y]-2*a*b*COV(X,Y)= 1^2*4+3^2*1-2*1*3*1/2= 4+9-3 = 10 $
Mi sembra giusto.
Grazie mille per avermi aiutato
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