\(F_X (t) \text{ su } \Omega=[0,1]^2 \)
Salve a tutti! 
Ho qualche problema con il seguente esempio riguardante il calcolo delle funzioni di ripartizione.
Esso è tratto dai miei appunti, purtroppo presi non benissimo.
Tale esempio consiste nel calcolare la funzione di ripartizione della variabile aleatoria \(X\) così definita
\[X(x)=\sum_{i=1}^{2}x_i\]
dove \(x=(x_1 x_2)\) è la stringa contente le coordinate di un qualsiasi punto del piano \(\mathbb{R}^2\).
Come spazio delle eventualità si considera il quadrato unitario chiuso centrato nel punto \((1/2,1/2)\):
\[\Omega=[0,1]^2\]
come σ-algebra \(\mathcal{E}\) quella di Borel sul piano reale
\[\mathcal{E}=\mathcal{B}(\mathbb{R}^2)\]
e come misura di probabilità su \(\mathcal{E}\)
\[\mathbb{P} (A) = \text{area} (A \cap \Omega) \]
Principalmente, e inizialmente, il problema che mi pongo è capire perché la funzione \(X:\Omega \mapsto [0,2]\) è una variabile aleatoria sullo spazio probabilizzato \((\Omega, \mathcal{E}, \mathbb{P})\).
Per la definizione che mi è stata data, la precedente è una variabile aleatoria se \(\{X \leq t\} \in \mathcal{E}\), qualsiasi sia \(t \in \overline{\mathbb{R}}\).
Ad essere più precisi, quindi, la domanda che mi pongo è "come si dimostra (se è possibile) che \(\{X \leq t\}\) è un boreliano di \(\mathbb{R}^2\)?".
Spero di non averle sparate troppo grosse, ringrazio anticipatamente chiunque abbia la voglia e la pazienza per rispondermi.
Ho qualche problema con il seguente esempio riguardante il calcolo delle funzioni di ripartizione.
Esso è tratto dai miei appunti, purtroppo presi non benissimo.
Tale esempio consiste nel calcolare la funzione di ripartizione della variabile aleatoria \(X\) così definita
\[X(x)=\sum_{i=1}^{2}x_i\]
dove \(x=(x_1 x_2)\) è la stringa contente le coordinate di un qualsiasi punto del piano \(\mathbb{R}^2\).
Come spazio delle eventualità si considera il quadrato unitario chiuso centrato nel punto \((1/2,1/2)\):
\[\Omega=[0,1]^2\]
come σ-algebra \(\mathcal{E}\) quella di Borel sul piano reale
\[\mathcal{E}=\mathcal{B}(\mathbb{R}^2)\]
e come misura di probabilità su \(\mathcal{E}\)
\[\mathbb{P} (A) = \text{area} (A \cap \Omega) \]
Principalmente, e inizialmente, il problema che mi pongo è capire perché la funzione \(X:\Omega \mapsto [0,2]\) è una variabile aleatoria sullo spazio probabilizzato \((\Omega, \mathcal{E}, \mathbb{P})\).
Per la definizione che mi è stata data, la precedente è una variabile aleatoria se \(\{X \leq t\} \in \mathcal{E}\), qualsiasi sia \(t \in \overline{\mathbb{R}}\).
Ad essere più precisi, quindi, la domanda che mi pongo è "come si dimostra (se è possibile) che \(\{X \leq t\}\) è un boreliano di \(\mathbb{R}^2\)?".
Spero di non averle sparate troppo grosse, ringrazio anticipatamente chiunque abbia la voglia e la pazienza per rispondermi.
Risposte
Un criterio di misurabilità ti garantisce che per dimostrare che $X$ è Borel misurabile è sufficiente provare che le controimmagini di aperti di $\mathbb{R}$ sono Borel misurabili (essendo gli aperti un sistema di generatori di $\mathcal{B}(\mathbb{R})$). Questo discende dalla continuità della funzione $X(x,y) = x + y$.
Innanzi tutto grazie per la risposta, poi devo dire che sono un studente in ingegneria, quindi perdonami se il mio "vocabolario matematico" è molto ristretto e, probabilmente, anche fuorviante in certi casi.
Credo che tu mi stia dicendo che:
1) Una qualsiasi variabile aleatoria \(X\) è Borel misurabile se le controimmagini (secondo \(X\)) degli aperti
di \(\mathbb{R}\) sono Borel misurabili.
2) \(X(x,y)=x+y\) è Borel misurabile in quanto, essendo continua, le sue controimmagini di aperti di \(\mathbb{R}\) sono Borel misurabili.
Vorrei chiarire alcuni punti, principalmente dovuti alle definizioni dei concetti tirati in gioco.
1) Intanto, per "insieme Borel misurabile" si intende insieme misurabile quando la σ-algebra considerata è la σ-algebra di Borel, giusto?
2) Tanto per non aver alcun dubbio, chiedo conferma anche sulla definizione di insieme misurabile.
Per quello che so, dato uno spazio misurabile \((\Omega, \mathcal{E})\) un insieme \(A \subseteq \Omega\) si dice misurabile se \(A \in \mathcal{E}\).
È corretta la definizione di cui dispongo?
3) Per "controimmagini di aperti di \(\mathbb{R}\) Borel misurabili" si intende ogni insieme
\[\{\omega \in \Omega: X(\omega) \leq t, \forall t \in (a,b) \subseteq \mathbb{R} \} \]
appartenente a \(\mathcal{B}(\mathbb{R}^2)\)?
4) Quando è che si dice, in senso lato, che una variabile aleatoria è continua? Nel caso in esame, si può utilizzare la definizione di continuità che si da per le normali funzioni \(f:\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}\)?
Ha per caso a che fare con questa definizione di continuità?
A questo punto concluderei le mie domande chiedendoti, se non è troppo disturbo, dove trovare qualche informazione riguardo il criterio da te utilizzato (mi accontento anche del solo nome nel caso in cui l'abbia).
...per dimostrare che \(X\) è Borel misurabile è sufficiente provare che le controimmagini di aperti di \(\mathbb{R}\) sono Borel misurabili (essendo gli aperti un sistema di generatori di \(\mathcal{B}(\mathbb{R})\)). Questo discende dalla continuità della funzione \(X\)...
Credo che tu mi stia dicendo che:
1) Una qualsiasi variabile aleatoria \(X\) è Borel misurabile se le controimmagini (secondo \(X\)) degli aperti
di \(\mathbb{R}\) sono Borel misurabili.
2) \(X(x,y)=x+y\) è Borel misurabile in quanto, essendo continua, le sue controimmagini di aperti di \(\mathbb{R}\) sono Borel misurabili.
Vorrei chiarire alcuni punti, principalmente dovuti alle definizioni dei concetti tirati in gioco.
1) Intanto, per "insieme Borel misurabile" si intende insieme misurabile quando la σ-algebra considerata è la σ-algebra di Borel, giusto?
2) Tanto per non aver alcun dubbio, chiedo conferma anche sulla definizione di insieme misurabile.
Per quello che so, dato uno spazio misurabile \((\Omega, \mathcal{E})\) un insieme \(A \subseteq \Omega\) si dice misurabile se \(A \in \mathcal{E}\).
È corretta la definizione di cui dispongo?
3) Per "controimmagini di aperti di \(\mathbb{R}\) Borel misurabili" si intende ogni insieme
\[\{\omega \in \Omega: X(\omega) \leq t, \forall t \in (a,b) \subseteq \mathbb{R} \} \]
appartenente a \(\mathcal{B}(\mathbb{R}^2)\)?
4) Quando è che si dice, in senso lato, che una variabile aleatoria è continua? Nel caso in esame, si può utilizzare la definizione di continuità che si da per le normali funzioni \(f:\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}\)?
Ha per caso a che fare con questa definizione di continuità?
A questo punto concluderei le mie domande chiedendoti, se non è troppo disturbo, dove trovare qualche informazione riguardo il criterio da te utilizzato (mi accontento anche del solo nome nel caso in cui l'abbia).
"Gost91":
2) Tanto per non aver alcun dubbio, chiedo conferma anche sulla definizione di insieme misurabile.
Per quello che so, dato uno spazio misurabile \((\Omega, \mathcal{E})\) un insieme \(A \subseteq \Omega\) si dice misurabile se \(A \in \mathcal{E}\).
È corretta la definizione di cui dispongo?
Mmmmm... Nì
Cioè, scritta così mi sembra più una tautologia che una definizione... E' giusta, ma allora ciò che deve essere chiaro è la definizione di $\mathcal{E}$: gli insiemi misurabili sono gli elementi di una $\sigma$-algebra."Gost91":
3) Per "controimmagini di aperti di \(\mathbb{R}\) Borel misurabili" si intende ogni insieme
\[\{\omega \in \Omega: X(\omega) \leq t, \forall t \in (a,b) \subseteq \mathbb{R} \} \]
appartenente a \(\mathcal{B}(\mathbb{R}^2)\)?
Non mi torna. Secondo me dovrebbe essere
\[\{\omega \in \Omega: X(\omega)\in (a,b) \subseteq \mathbb{R} \} \]
"Gost91":
4) Quando è che si dice, in senso lato, che una variabile aleatoria è continua? Nel caso in esame, si può utilizzare la definizione di continuità che si da per le normali funzioni \(f:\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}\)?
Ha per caso a che fare con questa definizione di continuità?
Sì, ha a che fare e si può usare la definizione di continuità finché lavori con insiemi boreliani. Questo perché la definizione di continuità utilizza gli aperti che generano la $\sigma$-algebra di Borel, quindi una funzione continua è una variabile aleatoria (ma non è necessariamente vero il viceversa).
Il teorema che assicura la misurabilità di una funzione con un insieme di generatori, lo conosco come criterio di misurabilità e dice che se una funzione $f$ di $(\Omega,\mathcal{F})$ in $(E,\mathcal{E})$ è tale che $f^{-1}(A)\in\mathcal{F}$ per ogni $A$ contenuto in una famiglia di sottoinsiemi di $E$ che genera $\mathcal{E}$, allora $f$ è misurabile (cioè risulta $f^{-1}(A)\in\mathcal{F}$ per ogni $A\in\mathcal{E}$).
La dimostrazione è semplice.
"retrocomputer":
Mmmmm... Nì
Sì hai ragione, detta in quella maniera è un po' troppo autoreferenziale.
Non mi sono espresso benissimo, quello che volevo sapere è se, secondo le comuni definizioni, è vera la seguente equivalenza
\[A \text{ misurabile} \Leftrightarrow A \in \mathcal{E}\]
"retrocomputer":
Non mi torna. Secondo me dovrebbe essere
\[\{\omega \in \Omega: X(\omega)\in(a,b)\subseteq\mathbb{R}\}\]
Sì, hai ragione. Ora sono d'accordo anche io su quanto hai scritto.
"retrocomputer":
Sì, ha a che fare e si può usare la definizione di continuità...
Ok.
"retrocomputer":
Il teorema che assicura la misurabilità di una funzione con un insieme di generatori, lo conosco come criterio di misurabilità e dice che se una funzione \(f\)...
Ok, credo di aver capito.
Grazie ancora per le dritte e i chiarimenti dati!
Anzitutto chiedo venia se intervengo solo ora. Non mi ero accorto che la discussione stava procedendo.
Come ti ha scritto retrocomputer, questa è la definizione di insieme misurabile; un insieme misurabile è un insieme che appartiene alla $\sigma$-algebra di riferimento.
"Gost91":
\[A \text{ misurabile} \Leftrightarrow A \in \mathcal{E}\]
Come ti ha scritto retrocomputer, questa è la definizione di insieme misurabile; un insieme misurabile è un insieme che appartiene alla $\sigma$-algebra di riferimento.
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