[EX] Vari Esercizi Probabilità
Salve a tutti!!!
Potreste darmi una mano nella risoluzione di questi esercizi???
1)Fissato per ipotesi lo stimatore della funzione di distribuzione: $F(ti)=(i - 0.3)/(n+0.4)$ (dove i è il numero d'ordine dell'i-esimo tempo al guasto di un campione casuale di ordine) formulare il corrispondente stimatore della densità di rischio.
2)Sia X una v.a. Normale con media incognita e varianza $\sigma^2= 4$. Abbiamo un campione casuale di dimensione $n=12$, in relazione al test delle ipotesi con $H1=(\mu_1=3$), si determini il rischio di seconda specie corrispondente alla seguente regione di accetazione: $\overline{X}<0.77$
3)Sapendo che il numero di guasti di un sistema riparabile, relativo al tempo t, è distribuito secondo una funzione di probabilità di Poisson, dedurre la formulazione del tempo di funzionamento assicurato dalla possibilità di effettuare k riparazioni.
4)Mi dava $A=B \cdot C^2 \cdot D^3$ con $B$, $C$, $D$ v.a normali con $\mu_b=2$ , $\mu_c=3.1$ , $\mu_d=4$, $\sigma_b^2=0.01$, $\sigmac^2=0.02$, $\sigma_d^2=0,03$. Calcolare media e varianza di A.
Potreste darmi una mano nella risoluzione di questi esercizi???
1)Fissato per ipotesi lo stimatore della funzione di distribuzione: $F(ti)=(i - 0.3)/(n+0.4)$ (dove i è il numero d'ordine dell'i-esimo tempo al guasto di un campione casuale di ordine) formulare il corrispondente stimatore della densità di rischio.
2)Sia X una v.a. Normale con media incognita e varianza $\sigma^2= 4$. Abbiamo un campione casuale di dimensione $n=12$, in relazione al test delle ipotesi con $H1=(\mu_1=3$), si determini il rischio di seconda specie corrispondente alla seguente regione di accetazione: $\overline{X}<0.77$
3)Sapendo che il numero di guasti di un sistema riparabile, relativo al tempo t, è distribuito secondo una funzione di probabilità di Poisson, dedurre la formulazione del tempo di funzionamento assicurato dalla possibilità di effettuare k riparazioni.
4)Mi dava $A=B \cdot C^2 \cdot D^3$ con $B$, $C$, $D$ v.a normali con $\mu_b=2$ , $\mu_c=3.1$ , $\mu_d=4$, $\sigma_b^2=0.01$, $\sigmac^2=0.02$, $\sigma_d^2=0,03$. Calcolare media e varianza di A.
Risposte
Ciao,
come inizieresti a risolverli, mostri i tuoi dubbi senza problemi e ti si aiuterà di conseguenza.
come inizieresti a risolverli, mostri i tuoi dubbi senza problemi e ti si aiuterà di conseguenza.
Io per i quattro quesiti avrei ipotizzato queste soluzioni:
1) la densità di rischio $f(t_i)$ è definito come derivata di $F(t_i)$; Non avendo tutti i valori numeri di $i$ e $n$ mi sembra che l'unico modo possibile sia scrivere la derivata numerica del tipo:
$f(t_i) = \frac{F(t_{i+1}) - F(t_i)}{t_{i+1} -t_i}$
Essendo $F(t_i)=\frac{i-0.3}{n+0.4}$ ottengo
$f(t_i) = \frac{1}{(n+0.4) \cdot (t_{i+1} -t_i)}$
Oltre questo non riesco ad andare!
Idee??
---------------------------------
2)
Essendo una distribuzione normale con $\sigma^2$ nota e dovendo effettuare il test delle ipotesi sulla media, applico la funzione ancillare
$U = \frac{\overline{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} $
Sostituendo i valori numerici
$F(U) = \frac{0.77 - 3}{2/ \sqrt{12}} = - 3.86$
Per proprietà della distribuzione normale
$F(U) = F(-U)$
Entrando in tabella con il valore di $3.86$ ottendo il valore di $\alpha = 0.0005$, pari al rischio di prima specie per l'ipotesi $H_1$.
Da qui deriva il rischio di seconda specie $\beta = 1 - \alpha = 0.99995$
E' corretto??
Qui ho il dubbio sul fatto che l'ipotesi sia su $H_1$ e mi chiede il rischio di II specie...
---------------------------------
3)
Anche qui, come nel primo esercizio ho il dubbio sul fatto che non mi fornice i valori numerici...
Non mi fornisce neanche $\lambda$ per la Poisson, ma immagino che debba darla per nota!
A questo punto il calcolo della probabilità per un tempo di funzionamento $t$ sarà pari a:
$P[N(t)=k] = \frac{(\lambda \cdot t)^k}{k!} \cdot e^(- \lambda t)$
---------------------------------
4)
Qui credo che l'unica possibilità sia applicare il metodo delta!
Data la funzione $A = \rho(X_1, X_2, ... X_n)$
$\mu_A \approx \rho(\mu) + \frac{1}{2} \[ \sum_{i=1}^{n} (\frac{d^2 \rho}{d X_i^2})_m \cdot \sigma^2_i ] $
$\sigma^2_A \approx \sum_{i=1}^{n} (\frac{d \rho}{d X_i})^2_m \cdot \sigma^2_i $
Sostituendo i valori numerici ottengo:
$\mu_A = 1239.48 $
$\sigma^2_A = 43 911 $
Qui avevo qualche perplessità iniziale su fatto che la varianza fosse più grande delle media...
---------------------------------
PS
Complimenti per il forum e per l'integrazione con $LaTeX$!
(ma come mai alcuni comandi tipo quello per lo spazio \, non sono riconosciuti??)
1) la densità di rischio $f(t_i)$ è definito come derivata di $F(t_i)$; Non avendo tutti i valori numeri di $i$ e $n$ mi sembra che l'unico modo possibile sia scrivere la derivata numerica del tipo:
$f(t_i) = \frac{F(t_{i+1}) - F(t_i)}{t_{i+1} -t_i}$
Essendo $F(t_i)=\frac{i-0.3}{n+0.4}$ ottengo
$f(t_i) = \frac{1}{(n+0.4) \cdot (t_{i+1} -t_i)}$
Oltre questo non riesco ad andare!
Idee??
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2)
Essendo una distribuzione normale con $\sigma^2$ nota e dovendo effettuare il test delle ipotesi sulla media, applico la funzione ancillare
$U = \frac{\overline{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} $
Sostituendo i valori numerici
$F(U) = \frac{0.77 - 3}{2/ \sqrt{12}} = - 3.86$
Per proprietà della distribuzione normale
$F(U) = F(-U)$
Entrando in tabella con il valore di $3.86$ ottendo il valore di $\alpha = 0.0005$, pari al rischio di prima specie per l'ipotesi $H_1$.
Da qui deriva il rischio di seconda specie $\beta = 1 - \alpha = 0.99995$
E' corretto??
Qui ho il dubbio sul fatto che l'ipotesi sia su $H_1$ e mi chiede il rischio di II specie...
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3)
Anche qui, come nel primo esercizio ho il dubbio sul fatto che non mi fornice i valori numerici...
Non mi fornisce neanche $\lambda$ per la Poisson, ma immagino che debba darla per nota!
A questo punto il calcolo della probabilità per un tempo di funzionamento $t$ sarà pari a:
$P[N(t)=k] = \frac{(\lambda \cdot t)^k}{k!} \cdot e^(- \lambda t)$
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4)
Qui credo che l'unica possibilità sia applicare il metodo delta!
Data la funzione $A = \rho(X_1, X_2, ... X_n)$
$\mu_A \approx \rho(\mu) + \frac{1}{2} \[ \sum_{i=1}^{n} (\frac{d^2 \rho}{d X_i^2})_m \cdot \sigma^2_i ] $
$\sigma^2_A \approx \sum_{i=1}^{n} (\frac{d \rho}{d X_i})^2_m \cdot \sigma^2_i $
Sostituendo i valori numerici ottengo:
$\mu_A = 1239.48 $
$\sigma^2_A = 43 911 $
Qui avevo qualche perplessità iniziale su fatto che la varianza fosse più grande delle media...
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PS
Complimenti per il forum e per l'integrazione con $LaTeX$!
(ma come mai alcuni comandi tipo quello per lo spazio \, non sono riconosciuti??)
Ragazzi nessuno ha qualche suggerimento?
Ciao,
scusa un po' il ritardo, ma ho troppo lavoro arretrato da finire, per rispondere in breve tempo.
Detto questo vediamo, che si può fare.
non so aiutarti in questo esercizio, ma cosa intendi con la frase che ho sottolineato?
Cmq lo stimatore mi ha ricordato un tipo di distribuzione che è utilizzato per alcuni tipi plotting (ho utilizzato di recente un plotting particolare e mi è capitato di vedere tale pdf), vedi se ti è utile: http://en.wikipedia.org/wiki/Weibull_di ... ibull_plot
mi pare ok, anche se la numerosità del campione è pessima.
Sull'ipotesi alterativa l'unico punto strano è che ci sia un'uguaglianza, di solito è al rovescio H0 eq, H1 div.
Ma penso poco cambi: ragiona al contrario quando applichi l'affermazione di accettazione/rifiuto.
sento puzza di processi di Poisson oppure di una distrubuzione condizionata, mmm ci penso ma dovrebbe essere correto quanto hai scritto.
scusa un po' il ritardo, ma ho troppo lavoro arretrato da finire, per rispondere in breve tempo.
Detto questo vediamo, che si può fare.
"LittleWoN":
Io per i quattro quesiti avrei ipotizzato queste soluzioni:
1) la densità di rischio $f(t_i)$ è definito come derivata di $F(t_i)$; Non avendo tutti i valori numeri di $i$ e $n$ mi sembra che l'unico modo possibile sia scrivere la derivata numerica del tipo:
$f(t_i) = \frac{F(t_{i+1}) - F(t_i)}{t_{i+1} -t_i}$
Essendo $F(t_i)=\frac{i-0.3}{n+0.4}$ ottengo
$f(t_i) = \frac{1}{(n+0.4) \cdot (t_{i+1} -t_i)}$
Oltre questo non riesco ad andare!
Idee??
non so aiutarti in questo esercizio, ma cosa intendi con la frase che ho sottolineato?
Cmq lo stimatore mi ha ricordato un tipo di distribuzione che è utilizzato per alcuni tipi plotting (ho utilizzato di recente un plotting particolare e mi è capitato di vedere tale pdf), vedi se ti è utile: http://en.wikipedia.org/wiki/Weibull_di ... ibull_plot
2)
E' corretto??
Qui ho il dubbio sul fatto che l'ipotesi sia su $H_1$ e mi chiede il rischio di II specie...
mi pare ok, anche se la numerosità del campione è pessima.
Sull'ipotesi alterativa l'unico punto strano è che ci sia un'uguaglianza, di solito è al rovescio H0 eq, H1 div.
Ma penso poco cambi: ragiona al contrario quando applichi l'affermazione di accettazione/rifiuto.
"LittleWoN":
3)
Anche qui, come nel primo esercizio ho il dubbio sul fatto che non mi fornice i valori numerici...
Non mi fornisce neanche $\lambda$ per la Poisson, ma immagino che debba darla per nota!
A questo punto il calcolo della probabilità per un tempo di funzionamento $t$ sarà pari a:
$P[N(t)=k] = \frac{(\lambda \cdot t)^k}{k!} \cdot e^(- \lambda t)$
sento puzza di processi di Poisson oppure di una distrubuzione condizionata, mmm ci penso ma dovrebbe essere correto quanto hai scritto.
Ti ringrazio infinitamente delle risposte!
Intendo che non mi forniva nessun valore numerico! Mi dava solo la funzione di $F(t_i)$ e basta!
Quindi il massimo che posso scrivere è la formulazione di $f(t_i)$...
Dopo aver consultato vari testi e dispense sono giunto alla conclusione che c'era un piccolo errore sulla traccia: l'ipotesi era $H_0$!
"hamming_burst":
non so aiutarti in questo esercizio, ma cosa intendi con la frase che ho sottolineato?
Intendo che non mi forniva nessun valore numerico! Mi dava solo la funzione di $F(t_i)$ e basta!
Quindi il massimo che posso scrivere è la formulazione di $f(t_i)$...
"hamming_burst":
mi pare ok, anche se la numerosità del campione è pessima.
Sull'ipotesi alterativa l'unico punto strano è che ci sia un'uguaglianza, di solito è al rovescio H0 eq, H1 div.
Ma penso poco cambi: ragiona al contrario quando applichi l'affermazione di accettazione/rifiuto.
Dopo aver consultato vari testi e dispense sono giunto alla conclusione che c'era un piccolo errore sulla traccia: l'ipotesi era $H_0$!
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